Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Вивчайте Вступ до Матричних Перетворень | Основи Лінійної Алгебри
Математика для науки про дані

bookВступ до Матричних Перетворень

Свайпніть щоб показати меню

Матричні рівняння

Матричне рівняння можна записати у вигляді:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Де:

  • AA — матриця коефіцієнтів;
  • x⃗\vec{x} — вектор змінних;
  • b⃗\vec{b} — вектор констант.

Матричне представлення лінійних систем

Розглянемо лінійну систему:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Це можна переписати у вигляді:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Розбір множення матриці

Множення матриці на вектор представляє собою лінійну комбінацію:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Приклад системи у матричній формі

Система:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Може бути записана як:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Матриці як перетворення

Матриця перетворює вектори у просторі.

Наприклад:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Ця матриця визначає, як осі змінюються під час множення.

Масштабування за допомогою матриць

Щоб застосувати масштабування до вектора, використовуйте:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Де:

  • sxs_x — коефіцієнт масштабування у напрямку x;
  • sys_y — коефіцієнт масштабування у напрямку y.

Приклад: масштабування точки (2, 3) на 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Тоді:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Обертання за допомогою матриць

Щоб обернути вектор на кут θ\theta навколо початку координат:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Приклад: обертання (2, 3) на 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Тоді:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Відображення відносно осі x

Матриця відображення:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Для v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Зсув (зсув по x)

Зсув змінює одну вісь залежно від іншої.

Для зсуву по осі x:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Якщо k=1.5k = 1.5 і v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Тотожне перетворення

Тотожна матриця не виконує жодного перетворення:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Для будь-якого вектора v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Який матричний вигляд цієї системи рівнянь?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 5

Запитати АІ

expand

Запитати АІ

ChatGPT

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Секція 4. Розділ 5
some-alt