Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Вивчайте Вступ до Матричних Перетворень | Основи Лінійної Алгебри
Математика для науки про дані

bookВступ до Матричних Перетворень

Матричні рівняння

Матричне рівняння можна записати у вигляді:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Де:

  • AA — матриця коефіцієнтів;
  • x⃗\vec{x} — вектор змінних;
  • b⃗\vec{b} — вектор констант.

Матричне представлення лінійних систем

Розглянемо лінійну систему:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Це можна переписати у вигляді:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Розбір множення матриці

Множення матриці на вектор представляє собою лінійну комбінацію:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Приклад системи у матричній формі

Система:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Може бути записана як:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Матриці як перетворення

Матриця перетворює вектори у просторі.

Наприклад:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Ця матриця визначає, як осі змінюються під час множення.

Масштабування за допомогою матриць

Щоб застосувати масштабування до вектора, використовуйте:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Де:

  • sxs_x — коефіцієнт масштабування у напрямку x;
  • sys_y — коефіцієнт масштабування у напрямку y.

Приклад: масштабування точки (2, 3) на 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Тоді:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Обертання за допомогою матриць

Щоб обернути вектор на кут θ\theta навколо початку координат:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Приклад: обертання (2, 3) на 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Тоді:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Відображення відносно осі x

Матриця відображення:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Для v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Зсув (зсув по x)

Зсув змінює одну вісь залежно від іншої.

Для зсуву по осі x:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Якщо k=1.5k = 1.5 і v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Тотожне перетворення

Тотожна матриця не виконує жодного перетворення:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Для будь-якого вектора v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Який матричний вигляд цієї системи рівнянь?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 5

Запитати АІ

expand

Запитати АІ

ChatGPT

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain how to solve a matrix equation for the variables?

What are some real-world applications of matrices and matrix transformations?

Can you show more examples of matrix transformations like rotation or scaling?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookВступ до Матричних Перетворень

Свайпніть щоб показати меню

Матричні рівняння

Матричне рівняння можна записати у вигляді:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Де:

  • AA — матриця коефіцієнтів;
  • x⃗\vec{x} — вектор змінних;
  • b⃗\vec{b} — вектор констант.

Матричне представлення лінійних систем

Розглянемо лінійну систему:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Це можна переписати у вигляді:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Розбір множення матриці

Множення матриці на вектор представляє собою лінійну комбінацію:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Приклад системи у матричній формі

Система:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Може бути записана як:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Матриці як перетворення

Матриця перетворює вектори у просторі.

Наприклад:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Ця матриця визначає, як осі змінюються під час множення.

Масштабування за допомогою матриць

Щоб застосувати масштабування до вектора, використовуйте:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Де:

  • sxs_x — коефіцієнт масштабування у напрямку x;
  • sys_y — коефіцієнт масштабування у напрямку y.

Приклад: масштабування точки (2, 3) на 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Тоді:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Обертання за допомогою матриць

Щоб обернути вектор на кут θ\theta навколо початку координат:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Приклад: обертання (2, 3) на 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Тоді:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Відображення відносно осі x

Матриця відображення:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Для v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Зсув (зсув по x)

Зсув змінює одну вісь залежно від іншої.

Для зсуву по осі x:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Якщо k=1.5k = 1.5 і v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Тотожне перетворення

Тотожна матриця не виконує жодного перетворення:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Для будь-якого вектора v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Який матричний вигляд цієї системи рівнянь?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 5
some-alt