Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Вивчайте Вступ до Власних Векторів і Власних Значень | Основи Лінійної Алгебри
Математика для науки про дані

bookВступ до Власних Векторів і Власних Значень

Note
Визначення

Власні значення та власні вектори описують, як матриця перетворює вектори у просторі. Власний вектор — це ненульовий вектор, напрямок якого залишається незмінним при множенні на матрицю, а відповідне власне значення показує, наскільки цей вектор розтягується або стискається.

Що таке власні вектори та власні значення?

Власний вектор — це ненульовий вектор, який змінюється лише за модулем при застосуванні до нього матриці. Відповідне скалярне значення, що описує цю зміну, називається власним значенням.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Де:

  • AA — квадратна матриця;
  • λ\lambda — власне значення;
  • v⃗\vec{v} — власний вектор.

Приклад матриці та постановка задачі

Нехай:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

Потрібно знайти такі значення λ\lambda та вектори v⃗\vec{v}, що:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Характеристичне рівняння

Щоб знайти λ\lambda, розв’яжіть характеристичне рівняння:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Підставте:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Обчисліть визначник:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Розв’яжіть:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Знаходження власних векторів

Тепер розв’яжіть для кожного λ\lambda.

Для λ=5\lambda = 5:

Відніміть:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Розв’яжіть:

v1=v2v_1 = v_2

Отже:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Для λ=2\lambda = 2:

Відніміть:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Розв’яжіть:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Отже:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Підтвердження власної пари

Після знаходження власного значення λ\lambda та власного вектора v⃗\vec{v}, перевірте, що:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Приклад:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Примітка

Власні вектори не є унікальними.
Якщо v⃗\vec{v} — власний вектор, то будь-який його скалярний добуток cv⃗c \vec{v} для c≠0c \neq 0 також є власним вектором.

Приклад:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

також є власним вектором для λ=5\lambda = 5.

Діагоналізація (Поглиблено)

Якщо матриця AA має nn лінійно незалежних власних векторів, її можна діагоналізувати:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Де:

  • PP — матриця, стовпці якої є власними векторами;
  • DD — діагональна матриця власних значень;
  • P−1P^{-1} — обернена матриця до PP.

Діагоналізацію можна перевірити, якщо A=PDP−1A = PDP^{-1}.
Це корисно для обчислення степенів AA:

Приклад

Нехай:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Знайти власні значення:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Розв'язати:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Знайти власні вектори:

Для λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Для λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Побудувати P,DP, D та P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Обчислити:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Підтверджено.

Чому це важливо:

Для обчислення степенів AA, наприклад AkA^k. Оскільки DD — діагональна матриця:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Це значно пришвидшує обчислення степенів матриці.

Важливі зауваження

  • Власні значення та власні вектори — це напрямки, які залишаються незмінними під час перетворення;
  • λ\lambda розтягує v⃗\vec{v};
  • λ=1\lambda = 1 залишає v⃗\vec{v} незмінним за модулем.
question mark

Для чого використовується характеристичне рівняння?

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 11

Запитати АІ

expand

Запитати АІ

ChatGPT

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain why eigenvectors are important in real-world applications?

How do I know if a matrix can be diagonalized?

Can you show another example with a different matrix?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookВступ до Власних Векторів і Власних Значень

Свайпніть щоб показати меню

Note
Визначення

Власні значення та власні вектори описують, як матриця перетворює вектори у просторі. Власний вектор — це ненульовий вектор, напрямок якого залишається незмінним при множенні на матрицю, а відповідне власне значення показує, наскільки цей вектор розтягується або стискається.

Що таке власні вектори та власні значення?

Власний вектор — це ненульовий вектор, який змінюється лише за модулем при застосуванні до нього матриці. Відповідне скалярне значення, що описує цю зміну, називається власним значенням.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Де:

  • AA — квадратна матриця;
  • λ\lambda — власне значення;
  • v⃗\vec{v} — власний вектор.

Приклад матриці та постановка задачі

Нехай:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

Потрібно знайти такі значення λ\lambda та вектори v⃗\vec{v}, що:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Характеристичне рівняння

Щоб знайти λ\lambda, розв’яжіть характеристичне рівняння:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Підставте:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Обчисліть визначник:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Розв’яжіть:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Знаходження власних векторів

Тепер розв’яжіть для кожного λ\lambda.

Для λ=5\lambda = 5:

Відніміть:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Розв’яжіть:

v1=v2v_1 = v_2

Отже:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Для λ=2\lambda = 2:

Відніміть:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Розв’яжіть:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Отже:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Підтвердження власної пари

Після знаходження власного значення λ\lambda та власного вектора v⃗\vec{v}, перевірте, що:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Приклад:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Примітка

Власні вектори не є унікальними.
Якщо v⃗\vec{v} — власний вектор, то будь-який його скалярний добуток cv⃗c \vec{v} для c≠0c \neq 0 також є власним вектором.

Приклад:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

також є власним вектором для λ=5\lambda = 5.

Діагоналізація (Поглиблено)

Якщо матриця AA має nn лінійно незалежних власних векторів, її можна діагоналізувати:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Де:

  • PP — матриця, стовпці якої є власними векторами;
  • DD — діагональна матриця власних значень;
  • P−1P^{-1} — обернена матриця до PP.

Діагоналізацію можна перевірити, якщо A=PDP−1A = PDP^{-1}.
Це корисно для обчислення степенів AA:

Приклад

Нехай:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Знайти власні значення:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Розв'язати:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Знайти власні вектори:

Для λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Для λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Побудувати P,DP, D та P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Обчислити:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Підтверджено.

Чому це важливо:

Для обчислення степенів AA, наприклад AkA^k. Оскільки DD — діагональна матриця:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Це значно пришвидшує обчислення степенів матриці.

Важливі зауваження

  • Власні значення та власні вектори — це напрямки, які залишаються незмінними під час перетворення;
  • λ\lambda розтягує v⃗\vec{v};
  • λ=1\lambda = 1 залишає v⃗\vec{v} незмінним за модулем.
question mark

Для чого використовується характеристичне рівняння?

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 11
some-alt