Вступ до Власних Векторів і Власних Значень

Що таке власні вектори та власні значення?

Власний вектор — це ненульовий вектор, який змінюється лише за модулем при застосуванні до нього матриці. Відповідне скалярне значення, що описує цю зміну, називається власним значенням.

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

Де:

• $A$ — квадратна матриця;
• $\lambda$ — власне значення;
• $\vec{v}$ — власний вектор.

Приклад матриці та постановка задачі

Нехай:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

Потрібно знайти такі значення $\lambda$ та вектори $\vec{v}$, що:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Характеристичне рівняння

Щоб знайти $\lambda$, розв’яжіть характеристичне рівняння:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Підставимо:

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

Обчислимо визначник:

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

Розв’яжемо:

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

Знаходження власних векторів

Тепер розв’яжіть для кожного $\lambda$.

Для $\lambda = 5$:

Віднімемо:

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Це дає рівняння:

$$-v_1 + v_2 = 0$$

Розв’яжемо:

$$v_1 = v_2$$

Отже:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Для $\lambda = 2$:

Віднімемо:

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Це дає рівняння:

$$2v_1 + v_2 = 0$$

Розв’яжемо:

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

Отже:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Підтвердження власної пари

Після знаходження власного значення $\lambda$ та власного вектора $\vec{v}$, перевірте, що:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Приклад:

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Приклад:

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

також є власним вектором для $\lambda = 5$.

Діагоналізація (Поглиблено)

Якщо матриця $A$ має $n$ лінійно незалежних власних векторів, її можна діагоналізувати:

$$A = PDP^{-1}$$

Де:

• $P$ — матриця, стовпці якої є власними векторами;
• $D$ — діагональна матриця власних значень;
• $P^{-1}$ — обернена матриця до $P$.

Діагоналізацію можна перевірити, якщо $A = PDP^{-1}$.
Це корисно для обчислення степенів $A$:

Приклад

Нехай:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Знайти власні значення:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Розв’язок:

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

Знайти власні вектори:

Для $\lambda = 3$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Для $\lambda = 2$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Побудова $P, D$ та $P^{-1}$:

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Обчислення:

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

Підтверджено.

Чому це важливо:

Для обчислення степенів $A$, наприклад $A^k$. Оскільки $D$ — діагональна матриця:

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

Це значно пришвидшує обчислення степенів матриці.

Важливі зауваження

• Власні значення та власні вектори — це напрямки, які залишаються незмінними при перетворенні;
• $\lambda$ розтягує $\vec{v}$;
• $\lambda = 1$ залишає $\vec{v}$ незмінним за модулем.