Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Вивчайте Вступ до Векторів | Основи Лінійної Алгебри
Математика для науки про дані

bookВступ до Векторів

Note
Визначення

Вектор — це математичний об'єкт, який визначає як напрямок, так і величину у просторі. У науці про дані вектори використовуються для опису точок даних, ознак і параметрів моделей, таких як ваги.

Що таке вектор?

Вектор — це впорядкована пара чисел, яка має як величину, так і напрямок.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Вектори часто зображаються як стрілки від початку координат до певної точки у просторі. Два вектори вважаються рівними, якщо вони мають однаковий напрямок і довжину, навіть якщо починаються з різних точок.

Нульовий вектор

Нульовий вектор не має довжини та напрямку. Його записують так:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Додавання та віднімання векторів

Додавання

Щоб додати два вектори, додайте їх відповідні компоненти:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Візуалізувати це можна за допомогою:

  • Метод "від хвоста до голови": перемістіть хвіст одного вектора до голови іншого;
  • Метод паралелограма: обидва вектори починаються з однієї точки та утворюють паралелограм.

Віднімання

Щоб відняти один вектор від іншого:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Це дає новий вектор, що спрямований від голови другого до голови першого.

Множення вектора на скаляр

Множення вектора на число (скаляр) розтягує або змінює напрямок вектора:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Якщо k>1k > 1, вектор розтягується у тому ж напрямку;
  • Якщо 0<k<10 < k < 1, вектор стискається;
  • Якщо k<0k < 0, напрямок змінюється на протилежний;
  • Якщо k=0k = 0, вектор стає нульовим.

Модуль (довжина) вектора

Модуль або довжина вектора обчислюється за допомогою теореми Піфагора:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Це дає відстань по прямій від початку координат до кінця вектора.

Скалярний добуток

Скалярний добуток поєднує два вектори в одне число, що відображає ступінь їхньої спрямованості:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Якщо результат додатній: вектори спрямовані подібно;
  • Якщо результат нульовий: вектори перпендикулярні;
  • Якщо результат від’ємний: вектори спрямовані у протилежні сторони.

Приклад

Якщо a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), тоді:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Якщо a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Тоді їхній скалярний добуток дорівнює:

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 1

Запитати АІ

expand

Запитати АІ

ChatGPT

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain the difference between the head-to-tail and parallelogram methods for vector addition?

How do you find the magnitude of a vector using its components?

Can you give an example of vector subtraction with numbers?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookВступ до Векторів

Свайпніть щоб показати меню

Note
Визначення

Вектор — це математичний об'єкт, який визначає як напрямок, так і величину у просторі. У науці про дані вектори використовуються для опису точок даних, ознак і параметрів моделей, таких як ваги.

Що таке вектор?

Вектор — це впорядкована пара чисел, яка має як величину, так і напрямок.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Вектори часто зображаються як стрілки від початку координат до певної точки у просторі. Два вектори вважаються рівними, якщо вони мають однаковий напрямок і довжину, навіть якщо починаються з різних точок.

Нульовий вектор

Нульовий вектор не має довжини та напрямку. Його записують так:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Додавання та віднімання векторів

Додавання

Щоб додати два вектори, додайте їх відповідні компоненти:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Візуалізувати це можна за допомогою:

  • Метод "від хвоста до голови": перемістіть хвіст одного вектора до голови іншого;
  • Метод паралелограма: обидва вектори починаються з однієї точки та утворюють паралелограм.

Віднімання

Щоб відняти один вектор від іншого:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Це дає новий вектор, що спрямований від голови другого до голови першого.

Множення вектора на скаляр

Множення вектора на число (скаляр) розтягує або змінює напрямок вектора:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Якщо k>1k > 1, вектор розтягується у тому ж напрямку;
  • Якщо 0<k<10 < k < 1, вектор стискається;
  • Якщо k<0k < 0, напрямок змінюється на протилежний;
  • Якщо k=0k = 0, вектор стає нульовим.

Модуль (довжина) вектора

Модуль або довжина вектора обчислюється за допомогою теореми Піфагора:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Це дає відстань по прямій від початку координат до кінця вектора.

Скалярний добуток

Скалярний добуток поєднує два вектори в одне число, що відображає ступінь їхньої спрямованості:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Якщо результат додатній: вектори спрямовані подібно;
  • Якщо результат нульовий: вектори перпендикулярні;
  • Якщо результат від’ємний: вектори спрямовані у протилежні сторони.

Приклад

Якщо a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), тоді:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Якщо a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Тоді їхній скалярний добуток дорівнює:

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 1
some-alt