Вивчайте Операції з Матрицями | Основи Лінійної Алгебри

Визначення

Матриця — це прямокутна таблиця чисел, розташованих у рядках і стовпцях, яка використовується для ефективного представлення та розв'язання математичних задач.

Перш ніж переходити до лінійних систем, таких як $A\vec{x} = \vec{b}$ , важливо зрозуміти, як поводяться матриці та які операції над ними можна виконувати.

Додавання матриць

Додавати дві матриці можна лише тоді, коли вони мають однакову форму (однакову кількість рядків і стовпців).

Нехай:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Тоді:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Множення матриці на скаляр

Можна також множити матрицю на скаляр (одне число):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Множення матриць і сумісність розмірів

Множення матриць — це операція рядок-на-стовпець, а не покомпонентна операція.

Правило: якщо матриця $A$ має розмір $(m \times n)$ , а матриця $B$ має розмір $(n \times p)$ , тоді:

Множення $AB$ допустиме;
Результат буде матрицею розміру $(m \times p)$ .

Приклад:

Нехай:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ має розмір $(2 \times 2)$ , а $B$ — $(2 \times 1)$ , тоді $AB$ допустиме і результат — матриця розміру $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Транспонування матриці

Транспонування матриці змінює місцями рядки та стовпці. Позначається як $A^T$ .

Нехай:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Тоді:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Властивості:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Визначник матриці

Матриця 2×2

Для:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Визначник дорівнює:

\det(A) = ad - bc

Матриця 3×3

Для:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Визначник дорівнює:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Цей метод називається розклад за алгебраїчними доповненнями.

Для більших матриць (4×4 і більше) розклад виконується рекурсивно.
Визначник є корисним, оскільки показує, чи має матриця обернену (невироджена матриця має ненульовий визначник).

Обернена матриця

Обернена до квадратної матриці $A$ позначається як $A^{-1}$ . Виконується рівність $A \cdot A^{-1} = I$ , де $I$ — одинична матриця.

Обернена існує лише для квадратних матриць з ненульовим визначником.

Приклад:

Якщо матриця A має вигляд:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Тоді її обернена матриця $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Де $\det(A) \neq 0$ .

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 3

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain why matrix multiplication is not element-wise?

How do you find the determinant of larger matrices?

What is the significance of the inverse of a matrix?

Свайпніть щоб показати меню

Визначення

Додавання матриць

Додавати дві матриці можна лише тоді, коли вони мають однакову форму (однакову кількість рядків і стовпців).

Нехай:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Тоді:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Множення матриці на скаляр

Можна також множити матрицю на скаляр (одне число):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Множення матриць і сумісність розмірів

Множення матриць — це операція рядок-на-стовпець, а не покомпонентна операція.

Правило: якщо матриця $A$ має розмір $(m \times n)$ , а матриця $B$ має розмір $(n \times p)$ , тоді:

Множення $AB$ допустиме;
Результат буде матрицею розміру $(m \times p)$ .

Приклад:

Нехай:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ має розмір $(2 \times 2)$ , а $B$ — $(2 \times 1)$ , тоді $AB$ допустиме і результат — матриця розміру $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Транспонування матриці

Транспонування матриці змінює місцями рядки та стовпці. Позначається як $A^T$ .

Нехай:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Тоді:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Властивості:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Визначник матриці

Матриця 2×2

Для:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Визначник дорівнює:

\det(A) = ad - bc

Матриця 3×3

Для:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Визначник дорівнює:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Цей метод називається розклад за алгебраїчними доповненнями.

Для більших матриць (4×4 і більше) розклад виконується рекурсивно.
Визначник є корисним, оскільки показує, чи має матриця обернену (невироджена матриця має ненульовий визначник).

Обернена матриця

Обернена існує лише для квадратних матриць з ненульовим визначником.

Приклад:

Якщо матриця A має вигляд:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Тоді її обернена матриця $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Де $\det(A) \neq 0$ .

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 3