Вивчайте Операції з Матрицями | Основи Лінійної Алгебри

Визначення

Матриця — це прямокутна таблиця чисел, розташованих у рядках і стовпцях, яка використовується для ефективного представлення та розв'язання математичних задач.

Перш ніж переходити до лінійних систем, таких як $A\vec{x} = \vec{b}$ , важливо зрозуміти, як поводяться матриці та які операції над ними можна виконувати.

Додавання матриць

Додавати дві матриці можна лише тоді, коли вони мають однакову форму (однакову кількість рядків і стовпців).

Нехай:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Тоді:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Множення матриці на скаляр

Можна також множити матрицю на скаляр (одне число):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Множення матриць і сумісність розмірів

Множення матриць — це операція рядок-на-стовпець, а не покомпонентна операція.

Правило: якщо матриця $A$ має розмір $(m \times n)$ , а матриця $B$ має розмір $(n \times p)$ , тоді:

Множення $AB$ допустиме;
Результат буде матрицею розміру $(m \times p)$ .

Приклад:

Нехай:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ має розмір $(2 \times 2)$ , а $B$ — $(2 \times 1)$ , тоді $AB$ допустиме і результат — матриця розміру $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Транспонування матриці

Транспонування матриці змінює місцями рядки та стовпці. Позначається як $A^T$ .

Нехай:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Тоді:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Властивості:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Визначник матриці

Матриця 2×2

Для:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Визначник дорівнює:

\det(A) = ad - bc

Матриця 3×3

Для:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Визначник дорівнює:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Цей метод називається розклад за алгебраїчними доповненнями.

Для більших матриць (4×4 і більше) розклад виконується рекурсивно.
Визначник є корисним, оскільки показує, чи має матриця обернену (невироджена матриця має ненульовий визначник).

Обернена матриця

Обернена до квадратної матриці $A$ позначається як $A^{-1}$ . Виконується рівність $A \cdot A^{-1} = I$ , де $I$ — одинична матриця.

Обернена існує лише для квадратних матриць з ненульовим визначником.

Приклад:

Якщо матриця A має вигляд:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Тоді її обернена матриця $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Де $\det(A) \neq 0$ .

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 3

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Свайпніть щоб показати меню

Визначення

Додавання матриць

Додавати дві матриці можна лише тоді, коли вони мають однакову форму (однакову кількість рядків і стовпців).

Нехай:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Тоді:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Множення матриці на скаляр

Можна також множити матрицю на скаляр (одне число):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Множення матриць і сумісність розмірів

Множення матриць — це операція рядок-на-стовпець, а не покомпонентна операція.

Правило: якщо матриця $A$ має розмір $(m \times n)$ , а матриця $B$ має розмір $(n \times p)$ , тоді:

Множення $AB$ допустиме;
Результат буде матрицею розміру $(m \times p)$ .

Приклад:

Нехай:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ має розмір $(2 \times 2)$ , а $B$ — $(2 \times 1)$ , тоді $AB$ допустиме і результат — матриця розміру $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Транспонування матриці

Транспонування матриці змінює місцями рядки та стовпці. Позначається як $A^T$ .

Нехай:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Тоді:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Властивості:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Визначник матриці

Матриця 2×2

Для:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Визначник дорівнює:

\det(A) = ad - bc

Матриця 3×3

Для:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Визначник дорівнює:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Цей метод називається розклад за алгебраїчними доповненнями.

Для більших матриць (4×4 і більше) розклад виконується рекурсивно.
Визначник є корисним, оскільки показує, чи має матриця обернену (невироджена матриця має ненульовий визначник).

Обернена матриця

Обернена існує лише для квадратних матриць з ненульовим визначником.

Приклад:

Якщо матриця A має вигляд:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Тоді її обернена матриця $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Де $\det(A) \neq 0$ .

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 3