Вивчайте Реалізація Матричних Перетворень у Python

Розв'язання лінійної системи

Задаємо систему рівнянь:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Це переписується як:


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

Цей код знаходить значення $x$ та $y$ , які задовольняють обидва рівняння.

Чому це важливо: розв'язання систем рівнянь є основою для науки про дані — від побудови лінійних моделей до розв'язання оптимізаційних задач.

Застосування лінійних перетворень

Визначаємо вектор:

v = np.array([[2], [3]])

Далі застосовуємо два перетворення:

Масштабування

Розтягуємо $x$ у 2 рази та стискаємо $y$ у 0.5 разів:

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

Це виконує обчислення:

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

Обертання

Повертаємо вектор на $90°$ проти годинникової стрілки за допомогою матриці обертання:

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

Результат:

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Візуалізація перетворень

За допомогою matplotlib будуємо кожен вектор з початку координат, підписуючи їх координати:


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

Чому це важливо: робочі процеси в науці про дані часто включають перетворення, наприклад:

Метод головних компонент — обертає дані;
Нормалізація ознак — масштабує осі;
Зниження розмірності — проєкції.

Візуалізуючи вектори та їхні перетворення, ми бачимо, як матриці буквально переміщують і змінюють форму даних у просторі.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 4. Розділ 6

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Свайпніть щоб показати меню