Вивчайте Вступ до Інтегралів | Математичний Аналіз

Визначення

Інтегрування — це фундаментальне поняття математичного аналізу, яке відображає загальне накопичення величини, наприклад, площі під кривою. Воно є важливим у науці про дані для обчислення ймовірнісних розподілів, кумулятивних значень та оптимізації.

Основний інтеграл

Основний інтеграл степеневої функції визначається за такою формулою:

\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Де:

$C$ — константа;
$n \neq -1$ ;
$...+C$ позначає довільну константу інтегрування.

Ключова ідея: якщо диференціювання зменшує степінь $x$ , то інтегрування його збільшує.

Поширені правила інтегрування

Степеневе правило інтегрування

Це правило допомагає інтегрувати будь-який многочлен:

\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Наприклад, якщо $n = 2$ :

\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Правило експоненти

Інтеграл експоненціальної функції $e^x$ є унікальним, оскільки після інтегрування залишається незмінним:

\int e^x dx = e^x + C

Але якщо показник має коефіцієнт, застосовується інше правило:

\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Наприклад, якщо $a = 2$ :

\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Тригонометричні інтеграли

Функції синуса та косинуса також мають прості правила інтегрування:

\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Означені інтеграли

На відміну від невизначених інтегралів, які містять довільну константу $C$ , означені інтеграли обчислюють функцію між двома межами $a$ та $b$ :

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Де $F(x)$ — це первісна функції $f(x)$ .

Наприклад, якщо $f(x) = 2x$ , $a = 0$ та $b = 2$ :

\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Це означає, що площа під кривою $y = 2x$ від $x=0$ до $x=2$ дорівнює $4$ .

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 3. Розділ 5

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Свайпніть щоб показати меню