Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Вивчайте Вступ до Інтегралів | Математичний Аналіз
Математика для науки про дані

bookВступ до Інтегралів

Note
Визначення

Інтегрування — це фундаментальне поняття математичного аналізу, яке відображає загальне накопичення величини, наприклад, площі під кривою. Воно є важливим у науці про дані для обчислення ймовірнісних розподілів, кумулятивних значень та оптимізації.

Основний інтеграл

Основний інтеграл степеневої функції визначається за такою формулою:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Де:

  • CC — константа;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C позначає довільну константу інтегрування.

Ключова ідея: якщо диференціювання зменшує степінь xx, то інтегрування його збільшує.

Поширені правила інтегрування

Степеневе правило інтегрування

Це правило допомагає інтегрувати будь-який многочлен:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Наприклад, якщо n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Правило експоненти

Інтеграл експоненціальної функції exe^x є унікальним, оскільки після інтегрування залишається незмінним:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Але якщо показник має коефіцієнт, застосовується інше правило:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Наприклад, якщо a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Тригонометричні інтеграли

Функції синуса та косинуса також мають прості правила інтегрування:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Означені інтеграли

На відміну від невизначених інтегралів, які містять довільну константу CC, означені інтеграли обчислюють функцію між двома межами aa та bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Де F(x)F(x) — це первісна функції f(x)f(x).

Наприклад, якщо f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 та b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Це означає, що площа під кривою y=2xy = 2x від x=0x=0 до x=2x=2 дорівнює 44.

question mark

Обчислити інтеграл:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 3. Розділ 5

Запитати АІ

expand

Запитати АІ

ChatGPT

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain the difference between definite and indefinite integrals?

Can you show more examples of integrating trigonometric or exponential functions?

How do I know when to use the power rule versus other integration rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookВступ до Інтегралів

Свайпніть щоб показати меню

Note
Визначення

Інтегрування — це фундаментальне поняття математичного аналізу, яке відображає загальне накопичення величини, наприклад, площі під кривою. Воно є важливим у науці про дані для обчислення ймовірнісних розподілів, кумулятивних значень та оптимізації.

Основний інтеграл

Основний інтеграл степеневої функції визначається за такою формулою:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Де:

  • CC — константа;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C позначає довільну константу інтегрування.

Ключова ідея: якщо диференціювання зменшує степінь xx, то інтегрування його збільшує.

Поширені правила інтегрування

Степеневе правило інтегрування

Це правило допомагає інтегрувати будь-який многочлен:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Наприклад, якщо n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Правило експоненти

Інтеграл експоненціальної функції exe^x є унікальним, оскільки після інтегрування залишається незмінним:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Але якщо показник має коефіцієнт, застосовується інше правило:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Наприклад, якщо a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Тригонометричні інтеграли

Функції синуса та косинуса також мають прості правила інтегрування:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Означені інтеграли

На відміну від невизначених інтегралів, які містять довільну константу CC, означені інтеграли обчислюють функцію між двома межами aa та bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Де F(x)F(x) — це первісна функції f(x)f(x).

Наприклад, якщо f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 та b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Це означає, що площа під кривою y=2xy = 2x від x=0x=0 до x=2x=2 дорівнює 44.

question mark

Обчислити інтеграл:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 3. Розділ 5
some-alt