Вивчайте Вступ до Похідних | Математичний Аналіз

Визначення

Похідна — це міра того, як змінюється функція при зміні її аргументу. Вона відображає швидкість зміни функції та є фундаментальною для аналізу тенденцій, оптимізації процесів і прогнозування поведінки в таких галузях, як фізика, економіка та машинне навчання.

Граничне визначення похідної

Похідна функції $f(x)$ у конкретній точці $x = a$ задається так:

\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Ця формула показує, наскільки змінюється $f(x)$ при дуже малому кроці $h$ вздовж осі x. Чим менше $h$ , тим ближче ми до миттєвої швидкості зміни.

Основні правила диференціювання

Правило степеня

Якщо функція є степенем $x$ , похідна визначається так:

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Це означає, що при диференціюванні показник степеня переноситься вниз і зменшується на одиницю:

\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Правило константи

Похідна будь-якої константи дорівнює нулю:

\frac{d}{dx}C=0

Наприклад, якщо $f(x) = 5$ , тоді:

\frac{d}{dx}5=0

Правило суми та різниці

Похідна суми або різниці функцій визначається так:

\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Наприклад, диференціюючи окремо:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Правила добутку та частки

Правило добутку

Якщо дві функції перемножуються, похідна обчислюється так:

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Тобто диференціюємо кожну функцію окремо та підсумовуємо добутки. Якщо $f(x)=x^2$ та $g(x) = e^x$ , тоді:

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Правило частки

При діленні функцій використовуйте:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Якщо $f(x)=x^2$ та $g(x)=x+1$ , тоді:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Правило ланцюга: диференціювання складених функцій

При диференціюванні вкладених функцій використовуйте:

\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Наприклад, якщо $y = (3x + 2)^5$ , тоді:

\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Це правило є ключовим у нейронних мережах та алгоритмах машинного навчання.

Приклад правила ланцюга для експоненти:

Коли потрібно диференціювати вираз на кшталт:

y =e^{2x^2}

Маємо складену функцію:

Зовнішня функція: $e^u$
Внутрішня функція: $u = 2x^2$

Застосуйте правило ланцюга крок за кроком:

\frac{d}{dx}2x^2=4x

Потім помножте на початкову експоненту:

\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}

Додаткове вивчення

У машинному навчанні та нейронних мережах це виникає під час роботи з експоненціальними активаціями або функціями втрат.

Приклад логарифмічного правила ланцюга:

Знайдемо похідну $\ln(2x)$ . Це також складена функція — логарифм зовні, лінійна функція всередині.

Знайдемо похідну внутрішньої частини:

\frac{d}{dx}(2x)=2

Тепер застосуємо правило ланцюга до логарифма:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Що спрощується до:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}

Примітка

Навіть якщо ви диференціюєте $\ln(kx)$ , результат завжди $\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}$ , оскільки константи скорочуються.

Особливий випадок: похідна сигмоїдної функції

Сигмоїдна функція часто використовується в машинному навчанні:

\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Її похідна відіграє ключову роль в оптимізації:

\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Якщо $f(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}$ , тоді:

f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Ця формула забезпечує плавність градієнтів під час навчання.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 3. Розділ 3

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain the limit definition of a derivative with a simple example?

How do the product, quotient, and chain rules differ in practice?

Can you show how to find the derivative of a more complex function using these rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Свайпніть щоб показати меню