Вивчайте Реалізація Границь у Python

Перш ніж досліджувати, як границі поводяться візуально, необхідно знати, як обчислювати їх безпосередньо за допомогою бібліотеки sympy. Ось три поширені типи границь, з якими ви зіткнетеся.

1. Скінченна границя

У цьому прикладі показано функцію, яка наближається до конкретного скінченного значення при $x \to 2$ .


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Границя, що не існує

У цьому випадку функція поводиться по-різному зліва та справа, тому границя не існує.


              1234567891011
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Нескінченна границя

Цей приклад демонструє функцію, яка наближається до нуля при нескінченному зростанні (x).


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Ці короткі фрагменти коду демонструють використання sympy.limit() для обчислення різних типів границь — скінченних, невизначених та нескінченних — перед їх графічним аналізом

Означення функцій

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: проста лінійна функція, у якої лівостороння та правостороння границі розходяться;
f_same: класична обернена функція, яка наближається до однакової границі з обох сторін;
f_special: відома границя в математичному аналізі, що дорівнює 1 при $x \to 0$ .

Обробка ділення на нуль

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Функція f_same = 1/x має проблему при $x = 0$ (ділення на нуль), тому це значення замінюється на NaN (не число), щоб уникнути помилок;
Для f_special відомо, що $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , тому вручну призначаємо $1$ при $x = 0$ .

Побудова горизонтальних асимптот

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Функція 1/x має горизонтальну асимптоту при $y = 0$ ;
Функція sin(x)/x прямує до $y = 1$ , тому для наочності додається червона пунктирна лінія.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 3. Розділ 2

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Свайпніть щоб показати меню