Вивчайте Вступ до Рядів | Множини та Ряди

Визначення

Ряд — це математичний вираз, утворений шляхом додавання членів послідовності. Найпоширенішими типами є арифметичний ряд та геометричний ряд, які відрізняються способом прогресії своїх членів.

Арифметичний ряд

Арифметичний ряд утворюється, коли різниця між послідовними членами послідовності є сталою.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Сума перших $n$ членів арифметичного ряду визначається за формулою:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Де:

$n$ — кількість членів;
$a$ — перший член;
$l$ — останній член.

Альтернативно, якщо останній член $l$ невідомий:

S_n = \frac{n}{2} \cdot \left( 2a + (n - 1) \cdot d \right)

Приклад

Знайти суму перших 10 членів ряду $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Геометрична прогресія

Геометрична прогресія утворюється, коли кожний наступний член послідовності отримується множенням попереднього на сталий коефіцієнт.

3,6,12,24,48,...;(\text{спільне відношення}, r=2)

Сума перших $n$ членів геометричної прогресії обчислюється за формулою:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Де:

$a$ — перший член;
$r$ — спільне відношення;
$n$ — кількість членів.

Якщо прогресія нескінченна і $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Приклад:

Знайти суму перших 4 членів прогресії $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Прикладне застосування

Арифметичні та геометричні прогресії зустрічаються у багатьох задачах науки про дані:

Зростання популяції та моделювання ресурсів за допомогою геометричних прогресій;
Фінансовий аналіз із використанням розрахунків складних відсотків;
Прогнозування доходу у різні періоди часу;
Машинне навчання, де суми використовуються в алгоритмах, таких як градієнтний спуск.

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 2. Розділ 4

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Свайпніть щоб показати меню