Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Вивчайте Вступ до Рядів | Множини та Ряди
Математика для науки про дані

bookВступ до Рядів

Note
Визначення

Ряд — це математичний вираз, утворений шляхом додавання членів послідовності. Найпоширенішими типами є арифметичний ряд та геометричний ряд, які відрізняються способом зміни їхніх членів.

Арифметичний ряд

Арифметичний ряд утворюється, коли різниця між послідовними членами послідовності є сталою.

2,5,8,11,14,...;(common difference,d=3)2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Сума перших nn членів арифметичного ряду визначається за формулою:

Sn=n2⋅(a+l)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Де:

  • nn — кількість членів;
  • aa — перший член;
  • ll — останній член.

Альтернативно, якщо останній член ll невідомий:

Sn=n2⋅2a+(n−1)⋅dS_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Приклад

Знайти суму перших 10 членів ряду 2,5,8,...2,5,8,...

S10=102⋅(2+(10−1)⋅3)=5⋅(2+27)=145S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Геометрична прогресія

Геометрична прогресія утворюється, коли кожен наступний член послідовності отримується множенням попереднього на сталий коефіцієнт.

3,6,12,24,48,...;(спільне відношення,r=2)3,6,12,24,48,...;(\text{спільне відношення}, r=2)

Сума перших nn членів геометричної прогресії обчислюється за формулою:

Sn=a⋅1−rn1−r, r≠1S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Де:

  • aa — перший член;
  • rr — спільне відношення;
  • nn — кількість членів.

Якщо прогресія нескінченна і ∣r∣<1|r|<1:

S=a1−rS = \frac{a}{1 - r}

Приклад:

Знайти суму перших 4 членів прогресії 3,6,12,24,...3,6,12,24,...

S4=3⋅1−241−2=3⋅1−16−1=3⋅15=45S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Прикладне застосування

Арифметичні та геометричні прогресії зустрічаються у багатьох задачах науки про дані:

  • Зростання населення та моделювання ресурсів за допомогою геометричних прогресій;
  • Фінансовий аналіз із використанням складних відсотків;
  • Прогнозування доходів у різні періоди часу;
  • Машинне навчання, де суми використовуються в алгоритмах, таких як градієнтний спуск.
question mark

a=1a=1, r=0.5r=0.5 та n=∞n=\infty, яка сума нескінченної геометричної прогресії?

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 2. Розділ 4

Запитати АІ

expand

Запитати АІ

ChatGPT

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Suggested prompts:

Can you explain the difference between arithmetic and geometric series in simpler terms?

Can you show more real-world examples where these series are used?

How do I know when to use an arithmetic series formula versus a geometric series formula?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookВступ до Рядів

Свайпніть щоб показати меню

Note
Визначення

Ряд — це математичний вираз, утворений шляхом додавання членів послідовності. Найпоширенішими типами є арифметичний ряд та геометричний ряд, які відрізняються способом зміни їхніх членів.

Арифметичний ряд

Арифметичний ряд утворюється, коли різниця між послідовними членами послідовності є сталою.

2,5,8,11,14,...;(common difference,d=3)2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Сума перших nn членів арифметичного ряду визначається за формулою:

Sn=n2⋅(a+l)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Де:

  • nn — кількість членів;
  • aa — перший член;
  • ll — останній член.

Альтернативно, якщо останній член ll невідомий:

Sn=n2⋅2a+(n−1)⋅dS_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Приклад

Знайти суму перших 10 членів ряду 2,5,8,...2,5,8,...

S10=102⋅(2+(10−1)⋅3)=5⋅(2+27)=145S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Геометрична прогресія

Геометрична прогресія утворюється, коли кожен наступний член послідовності отримується множенням попереднього на сталий коефіцієнт.

3,6,12,24,48,...;(спільне відношення,r=2)3,6,12,24,48,...;(\text{спільне відношення}, r=2)

Сума перших nn членів геометричної прогресії обчислюється за формулою:

Sn=a⋅1−rn1−r, r≠1S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Де:

  • aa — перший член;
  • rr — спільне відношення;
  • nn — кількість членів.

Якщо прогресія нескінченна і ∣r∣<1|r|<1:

S=a1−rS = \frac{a}{1 - r}

Приклад:

Знайти суму перших 4 членів прогресії 3,6,12,24,...3,6,12,24,...

S4=3⋅1−241−2=3⋅1−16−1=3⋅15=45S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Прикладне застосування

Арифметичні та геометричні прогресії зустрічаються у багатьох задачах науки про дані:

  • Зростання населення та моделювання ресурсів за допомогою геометричних прогресій;
  • Фінансовий аналіз із використанням складних відсотків;
  • Прогнозування доходів у різні періоди часу;
  • Машинне навчання, де суми використовуються в алгоритмах, таких як градієнтний спуск.
question mark

a=1a=1, r=0.5r=0.5 та n=∞n=\infty, яка сума нескінченної геометричної прогресії?

Select the correct answer

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 2. Розділ 4
some-alt