Операції лінійної алгебри

TensorFlow надає набір функцій для операцій лінійної алгебри, що спрощує виконання матричних операцій.

Множення матриць

Коротке нагадування про те, як працює множення матриць.

Існують два еквівалентних підходи до множення матриць:

Функція tf.matmul();
Використання оператора @.


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two matrices
matrix1 = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])
matrix2 = tf.constant([[2, 0, 2, 5], [2, 2, 1, 3]])

# Multiply the matrices
product1 = tf.matmul(matrix1, matrix2)
product2 = matrix1 @ matrix2

# Display tensors
print(product1)
print('-' * 50)
print(product2)

Примітка

Множення матриць розміром 3x2 та 2x4 дасть матрицю розміром 3x4.

Обернена матриця

Обернену матрицю можна отримати за допомогою функції tf.linalg.inv(). Додатково перевіримо фундаментальну властивість оберненої матриці.


              123456789101112131415
            
import tensorflow as tf

# Create 2x2 matrix
matrix = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])

# Compute the inverse of a matrix
inverse_mat = tf.linalg.inv(matrix)

# Check the result
identity = matrix @ inverse_mat

# Display tensors
print(inverse_mat)
print('-' * 50)
print(identity)

Примітка

Множення матриці на її обернену повинно дати одиничну матрицю, яка має одиниці на головній діагоналі та нулі в інших місцях. Крім того, модуль tf.linalg містить широкий спектр функцій для лінійної алгебри. Для отримання додаткової інформації або більш складних операцій рекомендується звернутися до офіційної документації.

Транспонування

Отримання транспонованої матриці за допомогою функції tf.transpose().


              123456789101112
            
import tensorflow as tf

# Create a matrix 3x2
matrix = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])

# Get the transpose of a matrix
transposed = tf.transpose(matrix)

# Display tensors
print(matrix)
print('-' * 40)
print(transposed)

Скалярний добуток

Скалярний добуток можна отримати за допомогою функції tf.tensordot(). Встановлюючи аргумент axes, можна обрати, по яких осях обчислювати скалярний добуток. Наприклад, для двох векторів при встановленні axes=1 ви отримаєте класичний скалярний добуток між векторами. Але при встановленні axes=0 ви отримаєте розширену матрицю по осі 0:


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two vectors
matrix1 = tf.constant([1, 2, 3, 4])
matrix2 = tf.constant([2, 0, 2, 5])

# Compute the dot product of two tensors
dot_product_axes1 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=1)
dot_product_axes0 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=0)

# Display tensors
print(dot_product_axes1)
print('-' * 40)
print(dot_product_axes0)

Примітка

Якщо взяти дві матриці з відповідними розмірами (NxM @ MxK, де NxM — розміри першої матриці, а MxK — другої), і обчислити скалярний добуток по axes=1, це фактично виконує множення матриць.

Завдання

Проведіть, щоб почати кодувати

Теоретичні відомості

Система лінійних рівнянь може бути представлена у матричній формі за допомогою рівняння:

AX = B

Де:

A — матриця коефіцієнтів;
X — стовпчикова матриця змінних;
B — стовпчикова матриця, що містить значення з правої частини рівнянь.

Розв'язок цієї системи можна знайти за формулою:

X = A^-1 B

Де A^-1 — обернена матриця до A.

Мета

Для заданої системи лінійних рівнянь використати TensorFlow для її розв'язання. Дано наступну систему лінійних рівнянь:

2x + 3y - z = 1.
4x + y + 2z = 2.
-x + 2y + 3z = 3.

Представити систему рівнянь у матричній формі (розділити на матриці A та B).
За допомогою TensorFlow знайти обернену матрицю A.
Перемножити обернену матрицю A на матрицю B, щоб знайти матрицю розв'язків X, яка містить значення x, y та z.

Примітка

Операції зрізу (slicing) у TensorFlow працюють подібно до NumPy. Тому X[:, 0] поверне всі елементи зі стовпця з індексом 0. До операцій зрізу ми повернемося пізніше у курсі.