Summary  
This chapter derives the t-statistic by combining the difference in sample means, the pooled variance estimate, and the sample sizes into a single formula for comparison.  

General domain of usage  
Statistical hypothesis testing

Завдання t-тесту полягає у визначенні, чи є різниця між середніми двох вибірок значущою. Що слід враховувати для його проведення?  

Очевидно, слід враховувати **різницю між середніми**.

Як показано на зображенні нижче, також має значення **дисперсія**.

Крім того, слід враховувати **розмір** кожної вибірки.

Щоб врахувати **різницю між середніми значеннями**, достатньо обчислити цю різницю:

$$
\bar{x}_1-\bar{x}_0
$$

Ситуація ускладнюється, коли мова йде про **дисперсію**. t-тест передбачає, що дисперсія однакова для обох вибірок. Це буде розглянуто детальніше у розділі *Припущення t-тесту*. Для оцінки дисперсії за двома вибірками застосовується формула **об'єднаної дисперсії**.

$$
s^2_{pooled} = \frac{s^2_1 \cdot df_1 + s^2_2 \cdot df_2}{df_1 + df_2} = \frac{s^2_1(n_1-1)+s^2_2(n_2-1)}{n_1+n_2-2}
$$

Де:
- $$n_1$$ — розмір i-ї вибірки;
- $$df_1 = n_i - 1$$ — i-й ступінь свободи;
- $$s_{\raisebox{-1pt}{i}}^{\raisebox{1pt}{2}}$$ — дисперсія i-ї вибірки.

А щоб врахувати **розмір**, потрібні розміри вибірок:

$$
n_1, n_2 - \text{це розміри вибірок}
$$


Об'єднання всіх елементів у **t-статистику**.

$$
t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_0}{\sqrt{s^2_{pooled}}\ \cdot\ \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}
$$

Розміри вибірок не завжди використовуються найбільш інтуїтивно. Однак такий підхід гарантує, що **t** підпорядковується **t-розподілу**, який буде розглянуто у наступному розділі.

Які властивості вибірки враховує t-тест?

Побудова міцної основи в статистиці за допомогою Python. Вивчення основних статистичних концепцій і їх застосування через NumPy та pandas. Перехід від базових мір, таких як середнє та дисперсія, до перевірки гіпотез, довірчих інтервалів і отримання висновків на основі даних із практичними завданнями.

Ознайомтеся з основними статистичними принципами, включаючи типи даних, міри центральної тенденції та ключові відмінності між вибірками і генеральними сукупностями.

Навчіться обчислювати та інтерпретувати середнє, медіану та моду за допомогою Python. Практикуйте ці операції з використанням pandas для аналізу реальних наборів даних.

Зрозумійте, як дисперсія та стандартне відхилення вимірюють розподіл даних. Дізнайтеся, як обчислювати ці показники вручну та за допомогою інструментів Python.

Дослідження того, як коваріація та кореляція описують взаємозв'язки між змінними. Практичні вправи з обчислення та порівняння обох показників у Python.

Оволодіння інтервальними оцінками для оцінки параметрів генеральної сукупності. Використання NumPy, pandas та бібліотек для візуалізації для обчислення та інтерпретації інтервалів на основі реальних даних.

Вивчення основ перевірки гіпотез і t-тесту. Розуміння принципів розробки, проведення та інтерпретації тестів за допомогою Python для підтримки прийняття рішень на основі даних.

T-тест Математично