Зміст курсу
Основи Теорії Ймовірностей
Основи Теорії Ймовірностей
Теорема Байєса
Теорема Байєса — це фундаментальне поняття теорії ймовірностей, яке дозволяє оновлювати наші уявлення або ймовірності на основі нових доказів. Ми вже розглядали формулу повної ймовірності, теорема Байєса дуже схожа на цю формулу. Розглянемо формулювання:
Пояснення:
Необхідно розбити простір елементарних подій на
n
різних несумісних подій;Відомо, що подія A є результатом стохастичного експерименту. Це означає, що A вже відбулася;
Потрібно з'ясувати, з яким сегментом H ми експериментували, обчисливши відповідну умовну ймовірність.
Приклад
Припустимо, що медичний тест на діабет має точність 90%
у виявленні певного захворювання.
Захворювання є рідкісним і зустрічається лише у 1%
населення. Якщо у людини позитивний результат тесту на захворювання, яка ймовірність того, що ця людина дійсно хвора?
Розв'язання
Для розв'язання цієї задачі необхідно врахувати, що тест може давати хибнопозитивний і хибнонегативний результат. Саме тому потрібно використовувати теорему Байєса.
H₁: Ймовірність того, що випадково обрана людина має діабет, дорівнює 0.01
.
H₂: Ймовірність того, що випадково обрана людина не має діабету, дорівнює 0.99
.
A: результат тесту позитивний (тест виявив діабет).
P(A|H₁): ймовірність того, що тест виявляє діабет і людина хвора, дорівнює 0.9
(істинно позитивний результат).
P(not A|H₂): ймовірність того, що тест не виявляє діабет і людина не хвора, дорівнює 0.9
(істинно негативний результат).
P(A|H₂): ймовірність того, що тест виявляє діабет, але людина не хвора, дорівнює 1 - P(not A|H₂) = 0.1
(хибнопозитивний результат).
Потрібно знайти P(H₁|A) — ймовірність того, що людина дійсно хвора, якщо тест виявив діабет.
# Prior probabilities P_diabetes = 0.01 P_no_diabetes = 0.99 # Conditional probabilities P_positive_given_diabetes = 0.9 P_positive_given_no_diabetes = 0.1 # Calculate the delimiter of the expression - probability that test is positive P_positive_test = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) + (P_positive_given_no_diabetes * P_no_diabetes) # Calculate the probability of having diabetes given a positive test result using Bayes' theorem P_diabetes_given_positive = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) / P_positive_test # Print the results print(f'The probability of having diabetes given a positive test is {P_diabetes_given_positive:.4f}')
Дякуємо за ваш відгук!