Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Вивчайте Теорема Байєса | Ймовірність Складних Подій
Основи Теорії Ймовірностей
course content

Зміст курсу

Основи Теорії Ймовірностей

Основи Теорії Ймовірностей

1. Базові Поняття Теорії Ймовірностей
Стохастичний Експеримент та Випадкова ПодіяЙмовірність та її властивостіГеометрична ЙмовірністьВиклик: Розв’язання задачі за допомогою геометричної ймовірностіНезалежність та несумісність випадкових подійУмовна Ймовірність
2. Ймовірність Складних Подій
Принцип Включення-ВиключенняЗавдання: Розв’язання Задачі за Допомогою Принципу Включення-ВиключенняПравило Множення ЙмовірностейЗакон Повної ЙмовірностіТеорема БайєсаЗавдання: Розв'язання Задачі за Допомогою Теореми Байєса
3. Поширені Дискретні Розподіли
Біноміальний РозподілЗавдання: Розв’язання Задачі з Використанням Біноміального РозподілуМультиноміальний розподілГеометричний розподілРозподіл ПуассонаЗавдання: Розв'язання Задачі з Використанням Розподілу Пуассона
4. Поширені Неперервні Розподіли
Неперервний Рівномірний РозподілЕкспоненціальний РозподілЗавдання: Розв’язання Задачі з Використанням Експоненціального РозподілуГаусівський РозподілЗавдання: Розв’язання Задачі з Використанням Гаусового Розподілу
5. Коваріація та Кореляція
Що таке коваріація?Що таке кореляція?Завдання: Розв’язання Задачі за Допомогою Кореляції

book
Теорема Байєса

Теорема Байєса — це фундаментальне поняття теорії ймовірностей, яке дозволяє оновлювати наші уявлення або ймовірності на основі нових доказів. Ми вже розглядали формулу повної ймовірності, теорема Байєса дуже схожа на цю формулу. Розглянемо формулювання:

Пояснення:

  1. Необхідно розбити простір елементарних подій на n різних несумісних подій;
  2. Відомо, що подія A є результатом стохастичного експерименту. Це означає, що A вже відбулася;
  3. Потрібно з'ясувати, з яким сегментом H ми експериментували, обчисливши відповідну умовну ймовірність.

Приклад

Припустимо, що медичний тест на діабет має точність 90% у виявленні певного захворювання.
Захворювання є рідкісним і зустрічається лише у 1% населення. Якщо у людини позитивний результат тесту на захворювання, яка ймовірність того, що ця людина дійсно хвора?

Розв'язання

Для розв'язання цієї задачі необхідно врахувати, що тест може давати хибнопозитивний і хибнонегативний результат. Саме тому потрібно використовувати теорему Байєса.

H₁: Ймовірність того, що випадково обрана людина має діабет, дорівнює 0.01.
H₂: Ймовірність того, що випадково обрана людина не має діабету, дорівнює 0.99.
A: результат тесту позитивний (тест виявив діабет).
P(A|H₁): ймовірність того, що тест виявляє діабет і людина хвора, дорівнює 0.9 (істинно позитивний результат).
P(not A|H₂): ймовірність того, що тест не виявляє діабет і людина не хвора, дорівнює 0.9 (істинно негативний результат).
P(A|H₂): ймовірність того, що тест виявляє діабет, але людина не хвора, дорівнює 1 - P(not A|H₂) = 0.1 (хибнопозитивний результат).

Потрібно знайти P(H₁|A) — ймовірність того, що людина дійсно хвора, якщо тест виявив діабет.


              
12345678910111213141516

            
# Prior probabilities
P_diabetes = 0.01
P_no_diabetes = 0.99

# Conditional probabilities
P_positive_given_diabetes = 0.9
P_positive_given_no_diabetes = 0.1

# Calculate the delimiter of the expression - probability that test is positive
P_positive_test = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) + (P_positive_given_no_diabetes * P_no_diabetes)

# Calculate the probability of having diabetes given a positive test result using Bayes' theorem
P_diabetes_given_positive = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) / P_positive_test

# Print the results
print(f'The probability of having diabetes given a positive test is {P_diabetes_given_positive:.4f}')
copy

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 2. Розділ 5

Запитати АІ

expand

Запитати АІ

ChatGPT

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

course content

Зміст курсу

Основи Теорії Ймовірностей

Основи Теорії Ймовірностей

1. Базові Поняття Теорії Ймовірностей
Стохастичний Експеримент та Випадкова ПодіяЙмовірність та її властивостіГеометрична ЙмовірністьВиклик: Розв’язання задачі за допомогою геометричної ймовірностіНезалежність та несумісність випадкових подійУмовна Ймовірність
2. Ймовірність Складних Подій
Принцип Включення-ВиключенняЗавдання: Розв’язання Задачі за Допомогою Принципу Включення-ВиключенняПравило Множення ЙмовірностейЗакон Повної ЙмовірностіТеорема БайєсаЗавдання: Розв'язання Задачі за Допомогою Теореми Байєса
3. Поширені Дискретні Розподіли
Біноміальний РозподілЗавдання: Розв’язання Задачі з Використанням Біноміального РозподілуМультиноміальний розподілГеометричний розподілРозподіл ПуассонаЗавдання: Розв'язання Задачі з Використанням Розподілу Пуассона
4. Поширені Неперервні Розподіли
Неперервний Рівномірний РозподілЕкспоненціальний РозподілЗавдання: Розв’язання Задачі з Використанням Експоненціального РозподілуГаусівський РозподілЗавдання: Розв’язання Задачі з Використанням Гаусового Розподілу
5. Коваріація та Кореляція
Що таке коваріація?Що таке кореляція?Завдання: Розв’язання Задачі за Допомогою Кореляції

book
Теорема Байєса

Теорема Байєса — це фундаментальне поняття теорії ймовірностей, яке дозволяє оновлювати наші уявлення або ймовірності на основі нових доказів. Ми вже розглядали формулу повної ймовірності, теорема Байєса дуже схожа на цю формулу. Розглянемо формулювання:

Пояснення:

  1. Необхідно розбити простір елементарних подій на n різних несумісних подій;
  2. Відомо, що подія A є результатом стохастичного експерименту. Це означає, що A вже відбулася;
  3. Потрібно з'ясувати, з яким сегментом H ми експериментували, обчисливши відповідну умовну ймовірність.

Приклад

Припустимо, що медичний тест на діабет має точність 90% у виявленні певного захворювання.
Захворювання є рідкісним і зустрічається лише у 1% населення. Якщо у людини позитивний результат тесту на захворювання, яка ймовірність того, що ця людина дійсно хвора?

Розв'язання

Для розв'язання цієї задачі необхідно врахувати, що тест може давати хибнопозитивний і хибнонегативний результат. Саме тому потрібно використовувати теорему Байєса.

H₁: Ймовірність того, що випадково обрана людина має діабет, дорівнює 0.01.
H₂: Ймовірність того, що випадково обрана людина не має діабету, дорівнює 0.99.
A: результат тесту позитивний (тест виявив діабет).
P(A|H₁): ймовірність того, що тест виявляє діабет і людина хвора, дорівнює 0.9 (істинно позитивний результат).
P(not A|H₂): ймовірність того, що тест не виявляє діабет і людина не хвора, дорівнює 0.9 (істинно негативний результат).
P(A|H₂): ймовірність того, що тест виявляє діабет, але людина не хвора, дорівнює 1 - P(not A|H₂) = 0.1 (хибнопозитивний результат).

Потрібно знайти P(H₁|A) — ймовірність того, що людина дійсно хвора, якщо тест виявив діабет.


              
12345678910111213141516

            
# Prior probabilities
P_diabetes = 0.01
P_no_diabetes = 0.99

# Conditional probabilities
P_positive_given_diabetes = 0.9
P_positive_given_no_diabetes = 0.1

# Calculate the delimiter of the expression - probability that test is positive
P_positive_test = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) + (P_positive_given_no_diabetes * P_no_diabetes)

# Calculate the probability of having diabetes given a positive test result using Bayes' theorem
P_diabetes_given_positive = (P_positive_given_diabetes * P_diabetes) / P_positive_test

# Print the results
print(f'The probability of having diabetes given a positive test is {P_diabetes_given_positive:.4f}')
copy

Все було зрозуміло?

Як ми можемо покращити це?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 2. Розділ 5
some-alt