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Mathématiques pour l'Analyse de Données et la Modélisation
Mathématiques pour l'Analyse de Données et la Modélisation
Facteur d'Échelle de la Transformation Linéaire
Dans le contexte des matrices, une transformation linéaire fait référence à une opération mathématique qui prend un vecteur ou une matrice en entrée et produit un vecteur ou une matrice transformé en sortie. Une matrice de transformation représente cette transformation. Pour appliquer la transformation, nous multiplions la matrice de transformation par le vecteur ou la matrice qui doit être transformé.
Nous avons déjà mentionné dans le chapitre précédent que le déterminant de la matrice de transformation influence l'échelle du vecteur résultant. Considérons un exemple pour le comprendre.
Créons plusieurs graphiques pour démontrer la différence entre les transformations linéaires avec des matrices de déterminants différents. Nous nous concentrerons sur la façon dont le déterminant affecte l'échelle de la transformation.
Première Transformation (Déterminant Élevé):
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Matrix with a high determinant A = np.array([[2, 0], [0, 3]]) # Vector to be transformed v = np.array([1, 1]) # Apply the transformation result_A = np.dot(A, v) # Plot the graph plt.quiver(0, 0, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original Vector') plt.quiver(0, 0, result_A[0], result_A[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Transformed Vector (High Determinant)') # Set the graph limits plt.xlim(-5, 5) plt.ylim(-5, 5) # Add labels and legend plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title(f'Determinant is {np.linalg.det(A)}') plt.legend() # Show the graph plt.show()
Deuxième Transformation (Déterminant Faible) :
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Matrix with a low determinant B = np.array([[0.5, 0.1], [0.3, 0.5]]) # Vector to be transformed v = np.array([1, 1]) # Apply the transformation result_B = np.dot(B, v) # Plot the graph plt.quiver(0, 0, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original Vector') plt.quiver(0, 0, result_B[0], result_B[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Transformed Vector (Low Determinant)') # Set the graph limits plt.xlim(-1, 3) plt.ylim(-1, 3) # Add labels and legend plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title(f'Determinant is {np.linalg.det(B)}') plt.legend() # Show the graph plt.show()
Facteur d'échelle de la transformation
L'échelle représente le changement de longueur du vecteur après la transformation. Un déterminant plus élevé conduit à un facteur d'échelle plus grand, ce qui fait que le vecteur transformé est plus étiré que le vecteur original. Inversement, un déterminant plus faible entraîne un facteur d'échelle plus petit, ce qui conduit à moins d'étirement du vecteur transformé.
Note
Il est nécessaire d'admettre que dans le cas où
det(A) = 0oudet(A) = 1, nous ne pouvons tirer aucune conclusion sur le facteur d'échelle de la matrice sans une analyse supplémentaire de la structure de la matrice.
Merci pour vos commentaires !
