Contenu du cours

Théorie Avancée des Probabilités

1. Déclarations Supplémentaires de la Théorie des Probabilités

Aperçu du Cours Variables Aléatoires Absolument Continues et Discrètes Fonctions de Répartition Cumulative et Fonctions de Densité de Probabilité Caractéristiques des Variables Aléatoires Vecteurs Aléatoires Propriétés Utiles de la Distribution Gaussienne Défi : Détection des Valeurs Aberrantes à l'Aide de la Règle des 3-Sigmas

2. Les Théorèmes Limites de la Théorie des Probabilités

Loi des Grands Nombres Loi des Grands Nombres pour le Processus de Bernoulli Défi : Estimer la Valeur Moyenne en Utilisant la Loi des Grands Nombres Théorème Central Limite Défi : Application du CLT à la Résolution de Problèmes Réels

3. Estimation des Paramètres de Population

Population Générale. Échantillons. Paramètres de Population.Estimation des Moments. Estimation du Maximum de Vraisemblance Défi : Estimer les Paramètres de la Distribution du Chi-Square Estimation Sans Biais Défi : Vérification du Biais d'une Estimation à l'Aide de la Simulation Estimation Cohérente Estimation Efficace Intervalles de Confiance pour les Paramètres de Population Défi : Intervalle de Confiance pour le Paramètre de Distribution Exponentielle

4. Test des Hypothèses Statistiques

Qu'est-ce Qu'une Hypothèse Statistique ? Erreurs de Type 1 et de Type 2 Qu'est-ce Que la Valeur P?Comparer les Moyennes de Deux Ensembles de Données Différents Défi : Utiliser le TCL pour Comparer les Valeurs Moyennes des Ensembles de Données Non Gaussiens Défi : Approche de Rééchantillonnage pour Comparer les Valeurs Moyennes des Ensembles de Données Test de l'Hypothèse d'Indépendance de Deux Variables Aléatoires

Comparer les Moyennes de Deux Ensembles de Données Différents

Une tâche appliquée assez importante est de comparer les espérances mathématiques de deux ensembles de données numériques indépendants différents.
Dans le cas général, cette tâche est résolue de manière assez non triviale, mais sous certaines conditions, cela peut être fait relativement simplement. Considérons les conditions suivantes :

Nous avons deux ensembles de données numériques indépendants avec des distributions gaussiennes et des variances égales (nous ne connaissons peut-être pas la valeur réelle de la variance, mais nous devons être sûrs que les variances sont égales). Nous voulons tester l'hypothèse suivante :

Hypothèse principale : les espérances de ces ensembles de données sont égales.

Hypothèse alternative : l'espérance de l'ensemble de données X est supérieure à celle de l'ensemble de données Y.

Critère statistique

Si les conditions décrites ci-dessus sont remplies, nous pouvons utiliser le critère suivant pour vérifier cette hypothèse :

Implémentation en Python

Générons deux ensembles de données indépendants avec des valeurs moyennes différentes et essayons de vérifier l'hypothèse :


              123456789101112131415161718192021222324252627282930313233
            
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

# Generate two independent Gaussian datasets with different means and variances
np.random.seed(123)  # Set seed for reproducibility
data1 = np.random.normal(loc=5, scale=2, size=500)  # Generate first dataset
data2 = np.random.normal(loc=4.7, scale=2, size=500)  # Generate second dataset

# Compute the two-sample t-test. By default, it checks the two-tailed hypothesis
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(data1, data2)

# Define the significance level
alpha = 0.05

# Compare the p-value with the significance level and print the result
if p_value < alpha:
    print('Reject the null hypothesis that the means are equal')
else:
    print('Fail to reject the null hypothesis that the means are equal')

# Plot the critical regions of the t-test
fig, ax = plt.subplots()  # Create figure and axis objects
x = np.linspace(-4, 4, 1000)  # Generate x values for plotting
y = stats.t.pdf(x, df=len(data1)+len(data2)-2)  # Compute t-distribution PDF
ax.plot(x, y, label='t-distribution')  # Plot t-distribution
t_crit_left = stats.t.ppf(alpha/2, len(data1)+len(data2)-2)  # Compute left critical value
t_crit_right = stats.t.ppf(1-alpha/2, len(data1)+len(data2)-2)  # Compute right critical value
ax.axvline(t_crit_left, color='r', linestyle='--', label='t-critical left')  # Plot left critical value
ax.axvline(t_crit_right, color='g', linestyle='--', label='t-critical right')  # Plot right critical value
ax.axvline(t_stat, color='k', linestyle='--', label='t-statistic')  # Plot t-statistic
ax.legend()  # Add legend to the plot
plt.show()  # Show the plot

Nous voyons que la valeur du critère est tombée dans la région critique droite, nous concluons donc que l'espérance mathématique du premier ensemble de données est supérieure à l'espérance mathématique du second.

Ensembles de données avec des variances différentes

Il existe également une généralisation de ce critère dans le cas où les variances des ensembles de données sont différentes, voyons un exemple de comment cela peut être implémenté en code :


              1234567891011121314151617181920
            
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

# Generate two independent Gaussian datasets with different means and variances
np.random.seed(123)
data1 = np.random.normal(loc=5, scale=2, size=100)
data2 = np.random.normal(loc=4.95, scale=4, size=100)

# Compute the two-sample t-test
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(data1, data2, equal_var=False)

# Define the significance level
alpha = 0.05

# Compare the p-value with the significance level and print the result
if p_value < alpha:
    print('Reject the null hypothesis that the means are equal')
else:
    print('Fail to reject the null hypothesis that the means are equal')

Dans le code ci-dessus, nous avons utilisé equal_var=False comme argument de la méthode stats.ttest_ind pour effectuer un test d'hypothèse sur des ensembles de données avec des variances différentes.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 4. Chapitre 3