Kursinhalt

Fortgeschrittene Wahrscheinlichkeitstheorie

1. Zusätzliche Aussagen Aus Der Wahrscheinlichkeitstheorie

Kursübersicht Absolut Stetige und Diskrete Zufallsvariablen Kumulative Verteilungsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen Eigenschaften von Zufallsvariablen Zufällige Vektoren Nützliche Eigenschaften der Gaußschen Verteilung Herausforderung: Ausreißererkennung Mit Der 3-Sigma-Regel

2. Die Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie

Gesetz der Großen Zahlen Gesetz der Großen Zahlen für Bernoulli-Prozess Herausforderung: Schätzen Sie den Mittelwert Mit dem Gesetz der Großen Zahlen Zentraler Grenzwertsatz Herausforderung: Anwendung des CLT zur Lösung Eines Realen Problems

3. Schätzung von Populationsparametern

Allgemeine Bevölkerung. Stichproben. Populationsparameter.Momentenschätzung. Maximum-Likelihood-Schätzung Herausforderung: Schätzung der Parameter der Chi-Square-Verteilung Unverzerrte Schätzung Herausforderung: Überprüfung der Verzerrung Einer Schätzung Mittels Simulation Konsistente Schätzung Effiziente Schätzung Konfidenzintervalle für Populationsparameter Herausforderung: Konfidenzintervall für Parameter der Exponentialverteilung

4. Testing of Statistical Hypotheses

Was Ist Eine Statistische Hypothese? Fehler 1. und 2. Art Was Ist der p-Wert?Vergleich der Mittelwerte Zweier Verschiedener Datensätze Herausforderung: Verwendung des CLT zum Vergleich von Mittelwerten Nicht-Gaußscher Datensätze Herausforderung: Resampling-Ansatz zum Vergleich der Mittelwerte der Datensätze Testen der Hypothese der Unabhängigkeit von Zwei Zufallsvariablen

Absolut Stetige und Diskrete Zufallsvariablen

Verständnis von Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable ist ein Wert, der sich basierend auf dem Ergebnis eines zufälligen Ereignisses oder Experiments ändert. Zum Beispiel könnte es die Anzahl der Köpfe bei Münzwürfen, Unfälle auf einem Straßenabschnitt, Gewicht auf einer Waage oder die Wartezeit auf einen Bus sein.

Zufallsvariablen können in zwei Typen kategorisiert werden:

Diskrete Variablen: Nehmen spezifische, zählbare Werte wie natürliche Zahlen an (z.B. die Anzahl der Straßenunfälle);
Stetige Variablen: Können jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen (z.B. das Gewicht einer Person).

Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF)

Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) wird verwendet, um diskrete Zufallsvariablen zu beschreiben. Es ist wie eine Tabelle, die alle möglichen Werte der Zufallsvariablen und deren entsprechende Wahrscheinlichkeiten enthält.

Zum Beispiel betrachten wir eine einfache PMF, die das Ergebnis eines einzelnen Münzwurfs beschreibt.

Schauen wir uns das Beispiel der Verwendung von PMF in Python an: Wir werden die Binomialverteilung verwenden, die im Grundkurs der Wahrscheinlichkeitstheorie beschrieben wird.


              12345678910
            
from scipy.stats import binom

# Flipping a coin 5 times and finding out how many times we get heads
# `n` is a number of experiments, `p` is probability of occuring a head
coin = binom(n=5, p=0.5)

# Due to conditions of an experiment we can have heads 0, 1, 2, 3, 4, 5 times
# Using pmf to get probabilities of all described results of an experiment
for i in range (6):
	print('Probability of ', i, ' heads is ', round(coin.pmf(i), 4))

Das Ergebnis des obigen Codes kann wie folgt dargestellt werden:

Hinweis

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in der PMF-Tabelle ergibt immer 1.

Andererseits, wie können wir kontinuierliche Zufallsvariablen darstellen, wenn wir nicht einfach alle möglichen Werte dieser Variablen auflisten und die Verteilungsreihe aufschreiben können? Diese Frage werden wir im nächsten Kapitel behandeln.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 1. Kapitel 2