Les Bases de la Théorie des Probabilités

Loi de la Probabilité Totale

La loi des probabilités totales est un concept fondamental en théorie des probabilités. Cette loi peut être formulée comme suit :

Fournissons quelques explications:

Nous avons divisé notre espace des événements élémentaires en n événements incompatibles différents;
Nous voulons calculer la probabilité d’un autre événement dans cet espace des événements élémentaires;
Nous pouvons calculer P(A) en utilisant la formule décrite ci-dessus.

Cette loi est souvent utilisée lorsqu’une expérience stochastique peut être divisée en différentes étapes, et que chaque étape est également stochastique.

Exemple

Considérons un exemple impliquant une entreprise de fabrication qui produit deux types de produits: Produit 1 et Produit 2.
L'entreprise produit 60% de Produit 1 et 40% de Produit 2.
Le taux de défaut pour le Produit 1 est de 10%, tandis que le taux de défaut pour le Produit 2 est de 5%. Nous voulons calculer la probabilité de sélectionner aléatoirement un produit défectueux dans l'inventaire de l'entreprise.

Dans cet exemple:

Événement A: Sélection d'un produit défectueux.
Événements de partition: H₁ = Sélection du Produit 1, H₂ = Sélection du Produit 2.
Nous pouvons maintenant utiliser la loi des probabilités totales pour résoudre cette tâche:

# Probability of selecting Product 1 and Product 2

P_H1 = 0.6

P_H2 = 0.4

# Defect rates for Product 1 and Product 2

P_A_cond_H1 = 0.1

P_A_cond_H2 = 0.05

# Calculate the overall probability of selecting a defective product

P_A = P_A_cond_H1 * P_H1 + P_A_cond_H2 * P_H2

# Print the results

print(f'The overall probability of selecting a defective product is {P_A:.4f}')


              12345678910111213
            
# Probability of selecting Product 1 and Product 2
P_H1 = 0.6
P_H2 = 0.4

# Defect rates for Product 1 and Product 2
P_A_cond_H1 = 0.1
P_A_cond_H2 = 0.05

# Calculate the overall probability of selecting a defective product
P_A = P_A_cond_H1 * P_H1 + P_A_cond_H2 * P_H2

# Print the results
print(f'The overall probability of selecting a defective product is {P_A:.4f}')

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Section 2. Chapitre 4

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Les Bases de la Théorie des Probabilités

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1. Concepts de Base de la Théorie des Probabilités

Nous commencerons notre apprentissage de la théorie des probabilités en examinant quelques définitions et règles de base : qu'est-ce qu'une expérience stochastique et un événement aléatoire, qu'est-ce que l'indépendance et l'incompatibilité des événements dans le contexte de la théorie des probabilités, qu'est-ce que la probabilité et comment pouvons-nous calculer les probabilités de différents événements élémentaires.

Expérience Stochastique et Événement Aléatoire

Probabilité et Ses Propriétés

Probabilité Géométrique

Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant la Probabilité Géométrique

Indépendance et Incompatibilité des Événements Aléatoires

Probabilité Conditionnelle

2. Probabilité des Événements Complexes

Dans les tâches de la vie réelle, nous devons souvent faire face à des relations complexes et, par conséquent, calculer les probabilités de plusieurs événements ou d'événements qui dépendent les uns des autres. Voyons comment nous pouvons le faire en utilisant la théorie des probabilités.

Principe d'Inclusion-Exclusion

Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant le Principe d'Inclusion-Exclusion

La Règle de Multiplication des Probabilités

Loi de la Probabilité Totale

Théorème de Bayes

Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant le Théorème de Bayes

3. Distributions Discrètes Couramment Utilisées

Pour résoudre de nombreux problèmes réels en théorie des probabilités, des modèles spéciaux ont été créés pour décrire une situation particulière. Considérons certains des modèles les plus utilisés qui peuvent être utilisés pour décrire certains résultats discrets d'expériences stochastiques.

Distribution Binomiale

Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Binomiale

Distribution Multinomiale

Distribution Géométrique

Distribution de Poisson

Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution de Poisson

4. Distributions Continues Couramment Utilisées

Que se passe-t-il si le résultat d'une expérience stochastique ne peut pas être décrit par une valeur discrète ? Pour cela, on utilise des modèles qui fonctionnent avec des valeurs continues. Considérons les plus populaires de ces modèles.

Distribution Uniforme Continue

Distribution Exponentielle

Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Exponentielle

Distribution Gaussienne

Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Gaussienne

5. Covariance et Corrélation

Souvent, nous sommes confrontés à la tâche de vérifier la dépendance des résultats de différentes expériences stochastiques les unes par rapport aux autres. De plus, il est nécessaire non seulement d'évaluer la présence de dépendances, mais aussi de quantifier d'une manière ou d'une autre le degré de ces dépendances. Pour résoudre ces problèmes, nous pouvons utiliser la covariance et la corrélation.

Qu'est-ce Que la Covariance ?

Qu'est-ce Que la Corrélation ?

Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant la Corrélation