Contenu du cours

Les Bases de la Théorie des Probabilités

1. Concepts de Base de la Théorie des Probabilités

Expérience Stochastique et Événement Aléatoire Probabilité et Ses Propriétés Probabilité Géométrique Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant la Probabilité Géométrique Indépendance et Incompatibilité des Événements Aléatoires Probabilité Conditionnelle

2. Probabilité des Événements Complexes

Principe d'Inclusion-Exclusion Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant le Principe d'Inclusion-Exclusion La Règle de Multiplication des Probabilités Loi de la Probabilité Totale Théorème de Bayes Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant le Théorème de Bayes

3. Distributions Discrètes Couramment Utilisées

Distribution Binomiale Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Binomiale Distribution Multinomiale Distribution Géométrique Distribution de Poisson Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution de Poisson

4. Distributions Continues Couramment Utilisées

Distribution Uniforme Continue Distribution Exponentielle Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Exponentielle Distribution Gaussienne Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Gaussienne

5. Covariance et Corrélation

Qu'est-ce Que la Covariance ?Qu'est-ce Que la Corrélation ?Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant la Corrélation

Distribution de Poisson

Supposons que nous ayons une séquence d'événements qui se produit sur une certaine période avec les propriétés suivantes :

Les événements sont indépendants ;
La survenue simultanée de deux ou plusieurs événements a une faible probabilité (dans ce cas, la simultanéité est impliquée dans le contexte de la survenue d'événements dans un intervalle de temps extrêmement court - jusqu'à quelques secondes) ;
Les caractéristiques probabilistes de la survenue d'un événement ne dépendent pas de la durée.

Dans ce cas, cet ensemble d'événements est appelé processus ponctuel de Poisson.

Exemples de processus ponctuels de Poisson

Les exemples de processus ponctuels de Poisson sont :

l'arrivée de particules cosmiques sur le compteur ;
les demandes de clients au serveur un certain jour de la semaine ;
les accidents de la route sur une certaine portion de route un jour donné ;
les cas d'assurance impliquant des clients d'une certaine compagnie d'assurance.

Remarque

Il est important de comprendre la différence entre les processus de Bernoulli et de Poisson. Dans le cas du processus de Bernoulli, nous expérimentons de manière indépendante et comptons le nombre de succès.
En même temps, le processus de Poisson décrit les événements dans la nature que nous n'influencions pas directement mais dont nous observons simplement l'apparition.

Distribution de Poisson

La distribution de Poisson est une distribution de probabilité discrète représentant le nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps fixe dans le processus ponctuel de Poisson.
Cette distribution possède un paramètre représentant le nombre moyen d'événements se produisant en une unité de temps.

Exemple de tâche

Résolvons la tâche suivante en utilisant la distribution de Poisson :

Dans un centre d'appels, les appels sont reçus à un taux moyen de 5 appels par minute. Quelle est la probabilité de recevoir entre 290 et 310 appels en une heure?


              12345678910111213141516
            
from scipy.stats import poisson

# Parameters
calls_per_minute = 5  # Average rate of calls per minute
calls_per_hour = calls_per_minute * 60

# Calculate the probability using the Poisson distribution
# We will add probabilities of occurring 290, 291, ..., 310 calls
# We can simply add probabilities because events of occuring 290, 291,.. calls
# are incompatible
probability = 0
for i in range (290, 311):
	probability = probability+poisson.pmf(i, mu=calls_per_hour)

# Print the results
print(f'Corresponding probability is: {probability:.4f}')

Dans le code ci-dessus, nous avons utilisé la méthode .pmf() de la classe scipy.stats.poisson pour calculer la probabilité à chacun des points 290, 291, ... , 310 et avons additionné toutes ces probabilités pour obtenir le résultat final.
Le paramètre mu détermine le nombre moyen d'accidents sur une période donnée.
Si vous souhaitez calculer la probabilité pour une période différente, alors dans le paramètre mu, spécifiez le nombre moyen d'événements dans la période souhaitée.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 3. Chapitre 5