Contenu du cours

Les Bases de la Théorie des Probabilités

1. Concepts de Base de la Théorie des Probabilités

Expérience Stochastique et Événement Aléatoire Probabilité et Ses Propriétés Probabilité Géométrique Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant la Probabilité Géométrique Indépendance et Incompatibilité des Événements Aléatoires Probabilité Conditionnelle

2. Probabilité des Événements Complexes

Principe d'Inclusion-Exclusion Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant le Principe d'Inclusion-Exclusion La Règle de Multiplication des Probabilités Loi de la Probabilité Totale Théorème de Bayes Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant le Théorème de Bayes

3. Distributions Discrètes Couramment Utilisées

Distribution Binomiale Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Binomiale Distribution Multinomiale Distribution Géométrique Distribution de Poisson Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution de Poisson

4. Distributions Continues Couramment Utilisées

Distribution Uniforme Continue Distribution Exponentielle Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Exponentielle Distribution Gaussienne Défi : Résoudre une Tâche en Utilisant la Distribution Gaussienne

5. Covariance et Corrélation

Qu'est-ce Que la Covariance ?Qu'est-ce Que la Corrélation ?Défi : Résoudre la Tâche en Utilisant la Corrélation

Qu'est-ce Que la Covariance ?

La covariance est une mesure numérique qui quantifie la relation entre deux variables.
Elle mesure comment les variations d'une variable correspondent aux variations d'une autre variable. Plus précisément, la covariance mesure la variabilité conjointe de deux variables et offre des indications sur la direction (positive ou négative) de cette variabilité.

Calcul de la covariance

Réalisez plusieurs fois la première expérience stochastique et notez les résultats de chaque essai dans un tableau. Ce sera un tableau x ;
Réalisez plusieurs fois la deuxième expérience stochastique et enregistrez les résultats dans le tableau y ;
Calculez la covariance en utilisant la bibliothèque numpy : covariance = np.cov(x, y)[0, 1].

Exemples


              12345678910111213141516171819
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Assume that results of some stochastic experiments are stored in x array
x = np.random.rand(100) * 10
# We provide another stochastic experiment by using the value of x and adding some noise
y = x + np.random.randn(100)

# Calculate the covariance
covariance = np.cov(x, y)[0, 1]
plt.scatter(x, y)

# Add labels and title
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Covariance is '+ str(round(covariance, 3) ))

# Show the plot
plt.show()

On observe qu'à mesure que la valeur de x augmente, la valeur de y augmente également. La corrélation est donc positive. Proposons une autre expérience:


              12345678910111213141516171819
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Assume that resylts of some stohastic experiments are stored in x array
x = np.random.rand(100) * 10
# We provide another stohastic experiment by using the value of -x and adding some noise
y = -x + np.random.randn(100)

# Calculate the covariance
covariance = np.cov(x, y)[0, 1]
plt.scatter(x, y)

# Add labels and title
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Covariance is '+ str(round(covariance, 3) ))

# Show the plot
plt.show()

Maintenant, alors que la valeur x augmente, la valeur y diminue et la covariance est négative. Voyons maintenant la covariation entre les résultats de deux expériences indépendantes:


              1234567891011121314151617181920
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Generate random data for two variables with zero correlation
np.random.seed(0)
x = np.random.rand(200)
y = np.random.rand(200)

# Calculate the covariance
covariance = np.cov(x, y)[0, 1]

plt.scatter(x, y)

# Add labels and title
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Covariance is '+ str(round(covariance, 3) ))

# Show the plot
plt.show()

En conséquence, nous pouvons tirer une conclusion :

Si la covariance entre deux valeurs est positive, alors, avec l'augmentation de la première valeur, la deuxième valeur augmente également ;
Si la covariance entre deux valeurs est négative, alors, avec l'augmentation de la première valeur, la deuxième valeur diminue ;
Si les valeurs sont indépendantes, alors elles ont une corrélation nulle (elles sont non corrélées).

Faites attention au dernier point : la corrélation est nulle si les valeurs sont indépendantes. Mais la réciproque n'est pas vraie : si la corrélation est nulle, cela ne signifie pas l'indépendance. Regardez l'exemple :


              1234567891011121314151617181920212223242526
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Set the number of vectors/points to generate
num_points = 1000

# Generate random angles uniformly distributed between 0 and 2*pi
angles = np.random.uniform(0, 2*np.pi, num_points)

# Convert angles to vectors in polar coordinates
r = np.sqrt(np.random.uniform(0, 1, num_points))  # Square root to achieve uniform distribution within the circle
x = r * np.cos(angles)
y = r * np.sin(angles)

# Calculate the covariance
covariance = np.cov(x, y)[0, 1]

plt.scatter(x, y)

# Add labels and title
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Covariance is '+ str(round(covariance, 3) ))

# Show the plot
plt.show()

Les points dans l'exemple ci-dessus se trouvent à l'intérieur du cercle unité et sont donc dépendants mais non corrélés.
En général, seules les relations linéaires entre les valeurs peuvent être correctement identifiées à l'aide de la covariance. Ainsi, dans le cas de valeurs non corrélées, nous pouvons conclure qu'elles n'ont pas de dépendances linéaires, mais peuvent présenter des types de dépendances plus complexes.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 5. Chapitre 1