Inklusions-Exklusions-Prinzip

Das Inklusions-Exklusionsprinzip, auch bekannt als die Inklusions-Exklusionsformel, ist ein grundlegendes Prinzip der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es berechnet die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung mehrerer Ereignisse.
Wir haben bereits im zweiten Kapitel des vorangegangenen Abschnitts erwähnt, dass, wenn Zufallsereignisse sich nicht überschneiden, die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Zufallsereignisse gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses ist. Aber wie können wir die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen berechnen, wenn sie sich überschneiden?

Inklusions-Exklusionsformel

Nun, wir können es mit der folgenden Formel berechnen:

Schauen wir uns das Beispiel an. Stell dir vor, wir haben 5 Bananen, 3 Zitronen, 2 gelbe Radieschen, 3 rote Radieschen und 7 grüne Äpfel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Frucht oder einen gelben Gegenstand zu erhalten.

Wie Sie vielleicht erkennen, kann eine Frucht ein gelbes Objekt sein, sodass sich Ereignis A (das Erhalten eines gelben Objekts) und Ereignis B (das Erhalten einer Frucht) überschneiden.

Der gelbe Kreis enthält alle gelben Objekte wie Radieschen, Zitronen und Bananen, während der blaue Kreis alle Früchte wie Bananen, Zitronen und Äpfel repräsentiert. Einige Früchte, wie Bananen und Zitronen, können gelb sein. Die Überschneidung dieser Kreise zeigt, dass wenn wir die Wahrscheinlichkeiten einfach addieren, wir gelbe Früchte doppelt zählen. Daher ist es wichtig, die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Frucht zu erhalten, abzuziehen.

So können wir die entsprechende Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen: