Kursinhalt

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Stochastisches Experiment und Zufälliges Ereignis Wahrscheinlichkeit und Ihre Eigenschaften Geometrische Wahrscheinlichkeit Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit Geometrischer Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit Zufälliger Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeit

2. Wahrscheinlichkeit Komplexer Ereignisse

Inklusions-Exklusions-Prinzip Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit dem Prinzip der Inklusion-Exklusion Die Multiplikationsregel der Wahrscheinlichkeit Gesetz Der Totalen Wahrscheinlichkeit Bayes' Theorem Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit dem Satz von Bayes

3. Häufig Verwendete Diskrete Verteilungen

Binomialverteilung Herausforderung: Aufgabe Mit Binomialverteilung Lösen Multinomiale Verteilung Geometrische Verteilung Poisson-Verteilung Herausforderung: Aufgabe Mit Poisson-Verteilung Lösen

4. Häufig Verwendete Kontinuierliche Verteilungen

Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Herausforderung: Aufgabe Mit Exponentialverteilung Lösen Normalverteilung Herausforderung: Aufgabe mit Gaussian-Verteilung Lösen

5. Kovarianz und Korrelation

Was Ist Kovarianz?Was Ist Korrelation?Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit Korrelation

Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Zwischenzeit zwischen Ereignissen in einem Poisson-Prozess modelliert.

Wir erinnern uns, dass der Poisson-Prozess die Anzahl der Ereignisse beschreibt, die in einem bestimmten Zeitraum aufgetreten sind. Andererseits beschreibt die Exponentialverteilung die Zeit zwischen dem Auftreten von zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen (der Abstand zwischen zwei benachbarten Nicht-Null-Punkten im obigen Diagramm).
Die Poisson-Verteilung wird durch den Parameter mu parametrisiert, der die durchschnittliche Anzahl von Unfällen pro Zeiteinheit beschreibt. Die Exponentialverteilung wird durch den Parameter scale parametrisiert, der die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Unfällen bestimmt.

Hinweis

Es besteht ein klarer Zusammenhang zwischen dem Poisson-Prozess-Parameter mu und dem Parameter scale der Exponentialverteilung:
mu = 1 \ scale für eine Zeiteinheit

Beispiel

Angenommen, die durchschnittliche Zeit zwischen Kundenankünften in einem Geschäft beträgt 5 Minuten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Kunde innerhalb von 3 Minuten eintrifft?

Wir haben einen Poisson-Prozess, bei dem ein Ereignis das Eintreffen eines Kunden ist. Die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Ankünften beträgt 5 Minuten. Daher können wir die Exponentialverteilung verwenden, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu berechnen:


              12345678910
            
from scipy.stats import expon

# Parameters of the exponential distribution
mean_waiting_time = 5

# Calculate that new customer will arrive in less than 3 minutes
probability = expon.cdf(3, scale=mean_waiting_time) - expon.cdf(0, scale=mean_waiting_time)

# Print the result
print(f'The probability that the next customer arrives within 3 minutes is: {probability:.4f}')

Wir verwenden auch die .cdf()-Methode der scipy.stats.expon-Klasse mit einem angegebenen scale-Parameter, um die entsprechende Wahrscheinlichkeit im Intervall [0,3] zu berechnen.

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 4. Kapitel 2