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Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
Poisson-Verteilung
Angenommen, wir haben eine Reihe von Ereignissen, die in einem bestimmten Zeitraum aufgetreten sind, mit den folgenden Eigenschaften:
- Die Ereignisse sind unabhängig;
- Das gleichzeitige Auftreten von zwei oder mehr Ereignissen hat eine geringe Wahrscheinlichkeit (in diesem Fall wird Gleichzeitigkeit im Kontext des Auftretens von Ereignissen in einem extrem kurzen Zeitintervall - bis zu Sekunden - impliziert);
- Wahrscheinlichkeitscharakteristika des Auftretens eines Ereignisses hängen nicht von der Zeit ab.
In diesem Fall wird diese Ereignisreihe als Poisson-Punktprozess bezeichnet.
Beispiele für Poisson-Punktprozesse
Beispiele für Poisson-Punktprozesse sind:
- das Eintreffen kosmischer Partikel am Zähler;
- Kunden-Anfragen an den Server an einem bestimmten Wochentag;
- Verkehrsunfälle auf einem bestimmten Streckenabschnitt an einem bestimmten Tag;
- Versicherungsfälle bei Kunden einer bestimmten Versicherungsgesellschaft.
Hinweis
Es ist wichtig, den Unterschied zwischen dem Bernoulli- und dem Poisson-Prozess zu verstehen. Im Fall des Bernoulli-Prozesses führen wir unabhängige Versuche durch und zählen die Anzahl der Erfolge.
Gleichzeitig beschreibt der Poisson-Prozess Ereignisse in der Natur, die wir nicht direkt beeinflussen, sondern lediglich ihr Auftreten beobachten.
Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Ereignisse darstellt, welche in einem festen Zeitintervall im Poisson-Punktprozess auftreten.
Diese Verteilung hat einen Parameter, der die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen angibt, die in einer Zeiteinheit auftreten.
Aufgabenbeispiel
Lassen Sie uns die folgende Aufgabe mithilfe der Poisson-Verteilung lösen:
In einem Callcenter werden Anrufe mit einer durchschnittlichen Rate von 5 Anrufen pro Minute empfangen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Stunde zwischen 290 und 310 Anrufe zu erhalten?
from scipy.stats import poisson # Parameters calls_per_minute = 5 # Average rate of calls per minute calls_per_hour = calls_per_minute * 60 # Calculate the probability using the Poisson distribution # We will add probabilities of occurring 290, 291, ..., 310 calls # We can simply add probabilities because events of occuring 290, 291,.. calls # are incompatible probability = 0 for i in range (290, 311): probability = probability+poisson.pmf(i, mu=calls_per_hour) # Print the results print(f'Corresponding probability is: {probability:.4f}')
Im obigen Code haben wir die Methode .pmf() der Klasse scipy.stats.poisson verwendet, um die Wahrscheinlichkeit an den Punkten 290, 291, ... , 310 zu berechnen, und diese Wahrscheinlichkeiten zusammengezählt, um das Endergebnis zu ermitteln.
Der Parameter mu bestimmt die durchschnittliche Anzahl der Unfälle über einen bestimmten Zeitraum.
Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen anderen Zeitraum berechnen möchtest, gib im Parameter mu die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse im gewünschten Zeitraum an.
Danke für Ihr Feedback!
