Kursinhalt

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Stochastisches Experiment und Zufälliges Ereignis Wahrscheinlichkeit und Ihre Eigenschaften Geometrische Wahrscheinlichkeit Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit Geometrischer Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit Zufälliger Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeit

2. Wahrscheinlichkeit Komplexer Ereignisse

Inklusions-Exklusions-Prinzip Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit dem Prinzip der Inklusion-Exklusion Die Multiplikationsregel der Wahrscheinlichkeit Gesetz Der Totalen Wahrscheinlichkeit Bayes' Theorem Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit dem Satz von Bayes

3. Häufig Verwendete Diskrete Verteilungen

Binomialverteilung Herausforderung: Aufgabe Mit Binomialverteilung Lösen Multinomiale Verteilung Geometrische Verteilung Poisson-Verteilung Herausforderung: Aufgabe Mit Poisson-Verteilung Lösen

4. Häufig Verwendete Kontinuierliche Verteilungen

Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Herausforderung: Aufgabe Mit Exponentialverteilung Lösen Normalverteilung Herausforderung: Aufgabe mit Gaussian-Verteilung Lösen

5. Kovarianz und Korrelation

Was Ist Kovarianz?Was Ist Korrelation?Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit Korrelation

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis eintritt, vorausgesetzt, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Es repräsentiert die aktualisierte Wahrscheinlichkeit, basierend auf dem Wissen oder den Informationen über das Eintreten eines anderen Ereignisses.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B wird wie folgt definiert:

Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann
P(A intersection B) = P(A)*P(B),
und infolgedessen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B)=P(A).

Hinweis

Es ist sinnvoll, eine bedingte Wahrscheinlichkeit nur einzuführen, wenn P(B) ungleich null ist.

Schauen wir uns das Beispiel an.

Angenommen, es gibt 5 Kinder in der Familie, und mindestens eines ist ein Mädchen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das älteste Kind ein Junge ist, unter der Annahme, dass jedes Kind mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Mädchen oder ein Junge sein kann.

Aufgrund dieser Annahme können wir die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit verwenden und die entsprechende Wahrscheinlichkeit mit bedingter Wahrscheinlichkeit berechnen.
Sei Ereignis A, dass das älteste Kind ein Junge ist. Ereignis B ist, dass es mindestens ein Mädchen gibt. Diese Aufgabe können wir wie folgt lösen:


              123456789101112131415161718192021222324252627
            
import numpy as np

# Firstly let's calculate the number of all possible outcomes 
# There are 5 children, each child can be a boy or a girl.
num_combinations = 2**5

# Let's consider event B
# There is only one possible variant when there are no girls in the family
num_B = num_combinations - 1 
p_B = num_B / num_combinations

# Now let's consider event A intersection event B
# We fix the fact that the eldest child is a boy, in this case there are four children
num_comb_4_children = 2**4

# Now we can calculate number of combinations when the eldest child is a boy 
# and there is at least one girl

# There is only one combination when the eldest child is a boy and there are no girls
num_A_and_B = num_comb_4_children - 1 
p_A_and_B = num_A_and_B / num_combinations

# At least we can calculate conditional probability
cond_prob = p_A_and_B / p_B

# Print the results
print(f'Probability that the eldest is a boy and there is at least one girl is {cond_prob:.4f}')

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 1. Kapitel 6