Геометрична Ймовірність

У попередньому розділі ми розглядали класичне правило підрахунку ймовірностей. Згідно з цим правилом, ймовірність обчислюється як відношення кількості сприятливих для нас наслідків до кількості всіх можливих наслідків. Але що робити, якщо кількість наслідків неможливо підрахувати?
Наприклад, уявімо, що ви випадково стріляєте по мішені й хочете визначити ймовірність влучення в центральну область цієї мішені.

У цьому випадку ви не можете просто підрахувати всі можливі наслідки, оскільки кількість точок, у які можна влучити, є нескінченною. У результаті доведеться використовувати геометричну ймовірність.
Принцип обчислення геометричних ймовірностей подібний до класичного правила — ми все ще припускаємо, що всі можливі елементарні наслідки експерименту є рівноймовірними, але замість підрахунку кількості наслідків розглядаємо їхню геометричну міру.

Геометрична міра визначається залежно від розмірності простору елементарних подій:

якщо простір одновимірний (пряма), то як міру використовують довжину відрізка;
якщо двовимірний (площина), то як міру використовують площу фігури на площині;
якщо тривимірний (фігура у просторі), то як міру використовують об'єм.

Таким чином, для розв'язання задачі з мішенню можна використати відношення площі області, що нас цікавить, до площі всієї мішені. Нехай уся мішень — це коло радіусом 2, а область, що нас цікавить, — це коло в центрі з радіусом 1. Тоді ймовірність потрапляння в центральну область можна знайти так:


              12345678910111213141516171819202122232425262728293031
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the radii of the circles
r_large = 2  # Radius of the larger circle
r_small = 1  # Radius of the smaller circle

# Calculate the areas
area_large = np.pi * r_large**2  # Area of the larger circle
area_small = np.pi * r_small**2  # Area of the smaller circle

# Calculate the probability
probability = area_small / area_large  # Probability of shooting into the smaller circle

# Plot the circles
fig, ax = plt.subplots()  # Create a new figure and axis object
circle_large = plt.Circle((0, 0), r_large, color='blue', alpha=0.3)  # Create a circle representing the larger circle
circle_small = plt.Circle((0, 0), r_small, color='red', alpha=0.5)  # Create a circle representing the smaller circle
ax.add_artist(circle_large)  # Add the larger circle to the plot
ax.add_artist(circle_small)  # Add the smaller circle to the plot
ax.set_aspect('equal')  # Set the aspect ratio of the plot to be equal
ax.set_xlim(-r_large-1, r_large+1)  # Set the x-axis limits
ax.set_ylim(-r_large-1, r_large+1)  # Set the y-axis limits
ax.set_xlabel('X')  # Set the x-axis label
ax.set_ylabel('Y')  # Set the y-axis label
ax.set_title('Probability of Shooting into the Circle')  # Set the title of the plot
plt.legend(['Target', 'Area to shoot'])  # Add a legend to the plot
plt.grid(True)  # Add a grid to the plot
plt.show()  # Display the plot

print(f'The probability of shooting into the smaller circle is {probability:.4f}')  # Print the probability

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 1. Розділ 3

Запитати АІ

Запитайте про що завгодно або спробуйте одне із запропонованих запитань, щоб почати наш чат

Зміст курсу

Основи Теорії Ймовірностей

1. Базові Поняття Теорії Ймовірностей

2. Ймовірність Складних Подій

3. Поширені Дискретні Розподіли

4. Поширені Неперервні Розподіли

5. Коваріація та Кореляція

Що таке коваріація?Що таке кореляція?Завдання: Розв’язання Задачі за Допомогою Кореляції

Геометрична Ймовірність

Геометрична міра визначається залежно від розмірності простору елементарних подій:

якщо простір одновимірний (пряма), то як міру використовують довжину відрізка;
якщо двовимірний (площина), то як міру використовують площу фігури на площині;
якщо тривимірний (фігура у просторі), то як міру використовують об'єм.


              12345678910111213141516171819202122232425262728293031
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the radii of the circles
r_large = 2  # Radius of the larger circle
r_small = 1  # Radius of the smaller circle

# Calculate the areas
area_large = np.pi * r_large**2  # Area of the larger circle
area_small = np.pi * r_small**2  # Area of the smaller circle

# Calculate the probability
probability = area_small / area_large  # Probability of shooting into the smaller circle

# Plot the circles
fig, ax = plt.subplots()  # Create a new figure and axis object
circle_large = plt.Circle((0, 0), r_large, color='blue', alpha=0.3)  # Create a circle representing the larger circle
circle_small = plt.Circle((0, 0), r_small, color='red', alpha=0.5)  # Create a circle representing the smaller circle
ax.add_artist(circle_large)  # Add the larger circle to the plot
ax.add_artist(circle_small)  # Add the smaller circle to the plot
ax.set_aspect('equal')  # Set the aspect ratio of the plot to be equal
ax.set_xlim(-r_large-1, r_large+1)  # Set the x-axis limits
ax.set_ylim(-r_large-1, r_large+1)  # Set the y-axis limits
ax.set_xlabel('X')  # Set the x-axis label
ax.set_ylabel('Y')  # Set the y-axis label
ax.set_title('Probability of Shooting into the Circle')  # Set the title of the plot
plt.legend(['Target', 'Area to shoot'])  # Add a legend to the plot
plt.grid(True)  # Add a grid to the plot
plt.show()  # Display the plot

print(f'The probability of shooting into the smaller circle is {probability:.4f}')  # Print the probability

Все було зрозуміло?

Дякуємо за ваш відгук!

Секція 1. Розділ 3